MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem18 16899
Description: Lemma for 4sq 16901. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
4sq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4sq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
4sq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4sq.5 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โІ ๐‘†)
4sq.6 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
4sq.7 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘–,๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘†,๐‘–,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)

Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 prmnn 16615 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
43nncnd 12232 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
54mullidd 11236 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) = ๐‘ƒ)
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
7 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
87ssrab3 4079 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘‡ โІ โ„•
9 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
108, 9sseqtri 4017 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘‡ โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
11 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
12 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
13 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
14 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โІ ๐‘†)
1511, 12, 13, 1, 14, 7, 64sqlem13 16894 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ))
1615simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
17 infssuzcl 12920 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ…) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
1810, 16, 17sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
196, 18eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡)
20 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) = (๐‘€ ยท ๐‘ƒ))
2120eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ ((๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
2221, 7elrab2 3685 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
2319, 22sylib 217 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
2423simprd 494 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
25114sqlem2 16886 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
2624, 25sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
2726adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
28 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐œ‘)
2928, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3028, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
3128, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3228, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โІ ๐‘†)
33 simp1r 1196 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
34 simp2ll 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
35 simp2lr 1239 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
36 simp2rl 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
37 simp2rr 1241 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)
38 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (((๐‘Ž + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
39 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
40 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
41 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (((๐‘‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
42 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘Ž + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2) + ((((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2)) + (((((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2) + ((((๐‘‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2))) / ๐‘€) = (((((((๐‘Ž + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2) + ((((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2)) + (((((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2) + ((((๐‘‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2))) / ๐‘€)
43 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
4411, 29, 30, 31, 32, 7, 6, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 434sqlem17 16898 . . . . . . . . . . . 12 ยฌ ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
4544pm2.21i 119 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
46453expia 1119 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค))) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4746anassrs 466 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4847rexlimdvva 3209 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4948rexlimdvva 3209 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5027, 49mpd 15 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5150pm2.01da 795 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5223simpld 493 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
53 elnn1uz2 12913 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘€ = 1 โˆจ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5452, 53sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ = 1 โˆจ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5554ord 860 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5651, 55mt3d 148 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = 1)
5756, 19eqeltrrd 2832 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐‘‡)
58 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) = (1 ยท ๐‘ƒ))
5958eleq1d 2816 . . . . 5 (๐‘– = 1 โ†’ ((๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘† โ†” (1 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
6059, 7elrab2 3685 . . . 4 (1 โˆˆ ๐‘‡ โ†” (1 โˆˆ โ„• โˆง (1 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
6160simprbi 495 . . 3 (1 โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
6257, 61syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
635, 62eqeltrrd 2832 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  {cab 2707   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068  {crab 3430   โІ wss 3947  โˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488   mod cmo 13838  โ†‘cexp 14031  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-gz 16867
This theorem is referenced by:  4sqlem19  16900
  Copyright terms: Public domain W3C validator