MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem18 16152
Description: Lemma for 4sq 16154. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18 (𝜑𝑃𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 15872 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
43nncnd 11455 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
54mulid2d 10456 . 2 (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
7 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
87ssrab3 3940 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 ⊆ ℕ
9 nnuz 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9sseqtri 3886 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
11 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
12 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
13 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
14 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
1511, 12, 13, 1, 14, 7, 64sqlem13 16147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
1615simpld 487 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
17 infssuzcl 12144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
1810, 16, 17sylancr 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
196, 18syl5eqel 2863 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑇)
20 oveq1 6981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑀 · 𝑃))
2120eleq1d 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2221, 7elrab2 3592 . . . . . . . . . . 11 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2319, 22sylib 210 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2423simprd 488 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25114sqlem2 16139 . . . . . . . . 9 ((𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2624, 25sylib 210 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2726adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
28 simp1l 1178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝜑)
2928, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3028, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
3128, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
3228, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
33 simp1r 1179 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
34 simp2ll 1221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
35 simp2lr 1222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
36 simp2rl 1223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑐 ∈ ℤ)
37 simp2rr 1224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
38 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
39 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
40 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
42 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀) = (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀)
43 simp3 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
4411, 29, 30, 31, 32, 7, 6, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 434sqlem17 16151 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
4544pm2.21i 117 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
46453expia 1102 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ))) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
4746anassrs 460 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
4847rexlimdvva 3232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
4948rexlimdvva 3232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5027, 49mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
5150pm2.01da 787 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
5223simpld 487 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
53 elnn1uz2 12137 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5452, 53sylib 210 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5554ord 851 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5651, 55mt3d 143 . . . 4 (𝜑𝑀 = 1)
5756, 19eqeltrrd 2860 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑇)
58 oveq1 6981 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝑃) = (1 · 𝑃))
5958eleq1d 2843 . . . . 5 (𝑖 = 1 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
6059, 7elrab2 3592 . . . 4 (1 ∈ 𝑇 ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
6160simprbi 489 . . 3 (1 ∈ 𝑇 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
6257, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
635, 62eqeltrrd 2860 1 (𝜑𝑃𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  wo 834  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  {cab 2751  wne 2960  wrex 3082  {crab 3085  wss 3822  c0 4172   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  infcinf 8698  cr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472  cmin 10668   / cdiv 11096  cn 11437  2c2 11493  cz 11791  cuz 12056  ...cfz 12706   mod cmo 13050  cexp 13242  cprime 15869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-dju 9122  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fz 12707  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-dvds 15466  df-gcd 15702  df-prm 15870  df-gz 16120
This theorem is referenced by:  4sqlem19  16153
  Copyright terms: Public domain W3C validator