MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem18 16286
Description: Lemma for 4sq 16288. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18 (𝜑𝑃𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 16006 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
43nncnd 11642 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
54mulid2d 10647 . 2 (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
7 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
87ssrab3 4054 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 ⊆ ℕ
9 nnuz 12269 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9sseqtri 4000 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
11 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
12 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
13 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
14 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
1511, 12, 13, 1, 14, 7, 64sqlem13 16281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
1615simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
17 infssuzcl 12320 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
1810, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
196, 18eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑇)
20 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑀 · 𝑃))
2120eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2221, 7elrab2 3680 . . . . . . . . . . 11 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2319, 22sylib 219 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2423simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25114sqlem2 16273 . . . . . . . . 9 ((𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2624, 25sylib 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
28 simp1l 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝜑)
2928, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3028, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
3128, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
3228, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
33 simp1r 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
34 simp2ll 1232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
35 simp2lr 1233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
36 simp2rl 1234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑐 ∈ ℤ)
37 simp2rr 1235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
38 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
39 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
40 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
42 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀) = (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀)
43 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
4411, 29, 30, 31, 32, 7, 6, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 434sqlem17 16285 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
4544pm2.21i 119 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
46453expia 1113 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ))) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
4746anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
4847rexlimdvva 3291 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
4948rexlimdvva 3291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5027, 49mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
5150pm2.01da 795 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
5223simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
53 elnn1uz2 12313 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5452, 53sylib 219 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5554ord 858 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5651, 55mt3d 150 . . . 4 (𝜑𝑀 = 1)
5756, 19eqeltrrd 2911 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑇)
58 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝑃) = (1 · 𝑃))
5958eleq1d 2894 . . . . 5 (𝑖 = 1 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
6059, 7elrab2 3680 . . . 4 (1 ∈ 𝑇 ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
6160simprbi 497 . . 3 (1 ∈ 𝑇 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
6257, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
635, 62eqeltrrd 2911 1 (𝜑𝑃𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wrex 3136  {crab 3139  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880   mod cmo 13225  cexp 13417  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-gz 16254
This theorem is referenced by:  4sqlem19  16287
  Copyright terms: Public domain W3C validator