Theorem 4sqlem18 16894

Description: Lemma for 4sq 16896. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem18	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem18

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16605	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12165	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
5	4	mullidd 11154	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
6		4sq.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
7		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
8	7	ssrab3 4035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
9		nnuz 12794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10	8, 9	sseqtri 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1)
11		4sq.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
12		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
14		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
15	11, 12, 13, 1, 14, 7, 6	4sqlem13 16889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
16	15	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
17		infssuzcl 12849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
18	10, 16, 17	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
19	6, 18	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
20		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑀 · 𝑃))
21	20	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
22	21, 7	elrab2 3650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
23	19, 22	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
24	23	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25	11	4sqlem2 16881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
26	24, 25	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
28		simp1l 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝜑)
29	28, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
30	28, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
31	28, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
32	28, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
33		simp1r 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
34		simp2ll 1242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
35		simp2lr 1243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
36		simp2rl 1244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑐 ∈ ℤ)
37		simp2rr 1245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
38		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
39		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
42		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀) = (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀)
43		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
44	11, 29, 30, 31, 32, 7, 6, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43	4sqlem17 16893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
45	44	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
46	45	3expia 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ))) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
47	46	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
48	47	rexlimdvva 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
49	48	rexlimdvva 3194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
50	27, 49	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
51	50	pm2.01da 799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
52	23	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
53		elnn1uz2 12842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
54	52, 53	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
55	54	ord 865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
56	51, 55	mt3d 148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = 1)
57	56, 19	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑇)
58		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝑃) = (1 · 𝑃))
59	58	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
60	59, 7	elrab2 3650	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑇 ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
61	60	simprbi 496	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑇 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
62	57, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
63	5, 62	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  {crab 3400   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  infcinf 9348  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12149  2c2 12204  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ...cfz 13427   mod cmo 13793  ↑cexp 13988  ℙcprime 16602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-prm 16603  df-gz 16862

This theorem is referenced by:  4sqlem19  16895