Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem18 16367
 Description: Lemma for 4sq 16369. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18 (𝜑𝑃𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 16084 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
43nncnd 11703 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
54mulid2d 10710 . 2 (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
7 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
87ssrab3 3988 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 ⊆ ℕ
9 nnuz 12334 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9sseqtri 3930 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
11 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
12 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
13 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
14 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
1511, 12, 13, 1, 14, 7, 64sqlem13 16362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
1615simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
17 infssuzcl 12385 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
1810, 16, 17sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
196, 18eqeltrid 2856 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑇)
20 oveq1 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑀 · 𝑃))
2120eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2221, 7elrab2 3607 . . . . . . . . . . 11 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2319, 22sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2423simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25114sqlem2 16354 . . . . . . . . 9 ((𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2624, 25sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
2726adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
28 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝜑)
2928, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3028, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
3128, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
3228, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
33 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
34 simp2ll 1237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
35 simp2lr 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
36 simp2rl 1239 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑐 ∈ ℤ)
37 simp2rr 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
38 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
39 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
40 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
42 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀) = (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀)
43 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
4411, 29, 30, 31, 32, 7, 6, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 434sqlem17 16366 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
4544pm2.21i 119 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
46453expia 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ))) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
4746anassrs 471 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
4847rexlimdvva 3218 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
4948rexlimdvva 3218 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5027, 49mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
5150pm2.01da 798 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
5223simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
53 elnn1uz2 12378 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5452, 53sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5554ord 861 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 𝑀 ∈ (ℤ‘2)))
5651, 55mt3d 150 . . . 4 (𝜑𝑀 = 1)
5756, 19eqeltrrd 2853 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑇)
58 oveq1 7163 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝑃) = (1 · 𝑃))
5958eleq1d 2836 . . . . 5 (𝑖 = 1 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
6059, 7elrab2 3607 . . . 4 (1 ∈ 𝑇 ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
6160simprbi 500 . . 3 (1 ∈ 𝑇 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
6257, 61syl 17 . 2 (𝜑 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
635, 62eqeltrrd 2853 1 (𝜑𝑃𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  infcinf 8951  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   < clt 10726   − cmin 10921   / cdiv 11348  ℕcn 11687  2c2 11742  ℤcz 12033  ℤ≥cuz 12295  ...cfz 12952   mod cmo 13299  ↑cexp 13492  ℙcprime 16081 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16082  df-gz 16335 This theorem is referenced by:  4sqlem19  16368
 Copyright terms: Public domain W3C validator