MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem18 16900
Description: Lemma for 4sq 16902. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
4sq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4sq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
4sq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4sq.5 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โІ ๐‘†)
4sq.6 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
4sq.7 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘–,๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘†,๐‘–,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)

Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 prmnn 16616 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
43nncnd 12233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
54mullidd 11237 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) = ๐‘ƒ)
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
7 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
87ssrab3 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘‡ โІ โ„•
9 nnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
108, 9sseqtri 4018 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘‡ โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
11 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
12 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
13 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
14 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โІ ๐‘†)
1511, 12, 13, 1, 14, 7, 64sqlem13 16895 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ))
1615simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
17 infssuzcl 12921 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ…) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
1810, 16, 17sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
196, 18eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡)
20 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) = (๐‘€ ยท ๐‘ƒ))
2120eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘€ โ†’ ((๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
2221, 7elrab2 3686 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
2319, 22sylib 217 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
2423simprd 495 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
25114sqlem2 16887 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
2624, 25sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
28 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐œ‘)
2928, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3028, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
3128, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3228, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โІ ๐‘†)
33 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
34 simp2ll 1239 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
35 simp2lr 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
36 simp2rl 1241 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
37 simp2rr 1242 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)
38 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (((๐‘Ž + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
39 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
40 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
41 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (((๐‘‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
42 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘Ž + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2) + ((((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2)) + (((((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2) + ((((๐‘‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2))) / ๐‘€) = (((((((๐‘Ž + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2) + ((((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2)) + (((((๐‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2) + ((((๐‘‘ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))โ†‘2))) / ๐‘€)
43 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
4411, 29, 30, 31, 32, 7, 6, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 434sqlem17 16899 . . . . . . . . . . . 12 ยฌ ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))))
4544pm2.21i 119 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2)))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
46453expia 1120 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค))) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4746anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4847rexlimdvva 3210 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4948rexlimdvva 3210 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘Žโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + ((๐‘โ†‘2) + (๐‘‘โ†‘2))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5027, 49mpd 15 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5150pm2.01da 796 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5223simpld 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
53 elnn1uz2 12914 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘€ = 1 โˆจ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5452, 53sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ = 1 โˆจ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5554ord 861 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5651, 55mt3d 148 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = 1)
5756, 19eqeltrrd 2833 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐‘‡)
58 oveq1 7419 . . . . . 6 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) = (1 ยท ๐‘ƒ))
5958eleq1d 2817 . . . . 5 (๐‘– = 1 โ†’ ((๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘† โ†” (1 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
6059, 7elrab2 3686 . . . 4 (1 โˆˆ ๐‘‡ โ†” (1 โˆˆ โ„• โˆง (1 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
6160simprbi 496 . . 3 (1 โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
6257, 61syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
635, 62eqeltrrd 2833 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  {cab 2708   โ‰  wne 2939  โˆƒwrex 3069  {crab 3431   โІ wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  infcinf 9440  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489   mod cmo 13839  โ†‘cexp 14032  โ„™cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-gz 16868
This theorem is referenced by:  4sqlem19  16901
  Copyright terms: Public domain W3C validator