Theorem 4sqlem18 16367

Description: Lemma for 4sq 16369. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem18	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem18

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16084	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 11703	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
5	4	mulid2d 10710	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
6		4sq.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
7		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
8	7	ssrab3 3988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
9		nnuz 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10	8, 9	sseqtri 3930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1)
11		4sq.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
12		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
14		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
15	11, 12, 13, 1, 14, 7, 6	4sqlem13 16362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
16	15	simpld 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
17		infssuzcl 12385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
18	10, 16, 17	sylancr 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
19	6, 18	eqeltrid 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
20		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑀 · 𝑃))
21	20	eleq1d 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
22	21, 7	elrab2 3607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
23	19, 22	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
24	23	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25	11	4sqlem2 16354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
26	24, 25	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
27	26	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
28		simp1l 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝜑)
29	28, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
30	28, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
31	28, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
32	28, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
33		simp1r 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
34		simp2ll 1237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
35		simp2lr 1238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
36		simp2rl 1239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑐 ∈ ℤ)
37		simp2rr 1240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
38		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
39		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
40		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
42		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀) = (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀)
43		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
44	11, 29, 30, 31, 32, 7, 6, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43	4sqlem17 16366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
45	44	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
46	45	3expia 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ))) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
47	46	anassrs 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
48	47	rexlimdvva 3218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
49	48	rexlimdvva 3218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
50	27, 49	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
51	50	pm2.01da 798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
52	23	simpld 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
53		elnn1uz2 12378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
54	52, 53	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
55	54	ord 861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
56	51, 55	mt3d 150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = 1)
57	56, 19	eqeltrrd 2853	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑇)
58		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝑃) = (1 · 𝑃))
59	58	eleq1d 2836	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
60	59, 7	elrab2 3607	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑇 ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
61	60	simprbi 500	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑇 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
62	57, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
63	5, 62	eqeltrrd 2853	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  infcinf 8951  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   < clt 10726   − cmin 10921   / cdiv 11348  ℕcn 11687  2c2 11742  ℤcz 12033  ℤ_≥cuz 12295  ...cfz 12952   mod cmo 13299  ↑cexp 13492  ℙcprime 16081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16082  df-gz 16335

This theorem is referenced by:  4sqlem19  16368