Theorem 4sqlem18 16933

Description: Lemma for 4sq 16935. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem18	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem18

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16644	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12202	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
5	4	mullidd 11192	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
6		4sq.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
7		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
8	7	ssrab3 4045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
9		nnuz 12836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10	8, 9	sseqtri 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1)
11		4sq.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
12		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
14		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
15	11, 12, 13, 1, 14, 7, 6	4sqlem13 16928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
16	15	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
17		infssuzcl 12891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
18	10, 16, 17	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
19	6, 18	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
20		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑀 · 𝑃))
21	20	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
22	21, 7	elrab2 3662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
23	19, 22	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆))
24	23	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25	11	4sqlem2 16920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
26	24, 25	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
28		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝜑)
29	28, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
30	28, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
31	28, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
32	28, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
33		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
34		simp2ll 1241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
35		simp2lr 1242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
36		simp2rl 1243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑐 ∈ ℤ)
37		simp2rr 1244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → 𝑑 ∈ ℤ)
38		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
39		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
40		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
42		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀) = (((((((𝑎 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑏 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2)) + (((((𝑐 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2) + ((((𝑑 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))↑2))) / 𝑀)
43		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
44	11, 29, 30, 31, 32, 7, 6, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43	4sqlem17 16932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
45	44	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
46	45	3expia 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ))) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
47	46	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
48	47	rexlimdvva 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
49	48	rexlimdvva 3194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
50	27, 49	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
51	50	pm2.01da 798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
52	23	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
53		elnn1uz2 12884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
54	52, 53	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
55	54	ord 864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2)))
56	51, 55	mt3d 148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = 1)
57	56, 19	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑇)
58		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝑃) = (1 · 𝑃))
59	58	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
60	59, 7	elrab2 3662	. . . 4 ⊢ (1 ∈ 𝑇 ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (1 · 𝑃) ∈ 𝑆))
61	60	simprbi 496	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑇 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
62	57, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) ∈ 𝑆)
63	5, 62	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  infcinf 9392  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468   mod cmo 13831  ↑cexp 14026  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-gz 16901

This theorem is referenced by:  4sqlem19  16934