MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp1d 13868
Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
exp1d (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 exp1 13797 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  (class class class)co 7284  cc 10878  1c1 10881  cexp 13791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-seq 13731  df-exp 13792
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14016  fsumcube  15779  sin01gt0  15908  rplpwr  16276  prmdvdsexp  16429  phiprm  16487  eulerthlem2  16492  pcelnn  16580  expnprm  16612  prmpwdvds  16614  pockthg  16616  odcau  19218  plyco  25411  dgrcolem1  25443  vieta1  25481  taylthlem1  25541  ftalem2  26232  vmaprm  26275  vma1  26324  1sgmprm  26356  chtublem  26368  fsumvma2  26371  chpchtsum  26376  logfacrlim2  26383  bposlem2  26442  bposlem6  26446  lgsval2lem  26464  2sqblem  26588  chebbnd1lem1  26626  rplogsumlem2  26642  rpvmasumlem  26644  ostth3  26795  nn0prpwlem  34520  nn0prpw  34521  bfplem1  35989  dvrelogpow2b  40083  aks4d1p1p4  40086  aks4d1p1p7  40089  aks4d1p1p5  40090  aks4d1p1  40091  aks4d1p3  40093  aks4d1p8d2  40100  2ap1caineq  40108  fltnltalem  40506  fltnlta  40507  3cubeslem3r  40516  rmxy1  40751  jm2.18  40817  jm2.23  40825  jm3.1lem2  40847  areaquad  41054  radcnvrat  41939  stoweidlem3  43551  wallispilem2  43614  stirlinglem1  43622  stirlinglem7  43628  stirlinglem10  43631  lighneal  45074  blenpw2m1  45936
  Copyright terms: Public domain W3C validator