Theorem exp1d 14106

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14032	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14258  fsumcube  16026  sin01gt0  16158  rplpwr  16528  prmdvdsexp  16685  phiprm  16747  eulerthlem2  16752  pcelnn  16841  expnprm  16873  prmpwdvds  16875  pockthg  16877  odcau  19534  plyco  26146  dgrcolem1  26179  vieta1  26220  taylthlem1  26281  ftalem2  26984  vmaprm  27027  vma1  27076  1sgmprm  27110  chtublem  27122  fsumvma2  27125  chpchtsum  27130  logfacrlim2  27137  bposlem2  27196  bposlem6  27200  lgsval2lem  27218  2sqblem  27342  chebbnd1lem1  27380  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  ostth3  27549  cos9thpiminplylem1  33772  cos9thpiminplylem2  33773  cos9thpiminplylem3  33774  nn0prpwlem  36310  nn0prpw  36311  bfplem1  37816  dvrelogpow2b  42056  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  aks4d1p1  42064  aks4d1p3  42066  aks4d1p8d2  42073  aks6d1c1p8  42103  2ap1caineq  42133  aks6d1c7  42172  readvrec2  42349  fltnltalem  42650  fltnlta  42651  3cubeslem3r  42675  rmxy1  42911  jm2.18  42977  jm2.23  42985  jm3.1lem2  43007  areaquad  43205  radcnvrat  44303  stoweidlem3  46001  wallispilem2  46064  stirlinglem1  46072  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  lighneal  47612  blenpw2m1  48568