Theorem exp1d 14045

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 13971	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  1c1 11004  ↑cexp 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-seq 13906  df-exp 13966

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14197  fsumcube  15964  sin01gt0  16096  rplpwr  16466  prmdvdsexp  16623  phiprm  16685  eulerthlem2  16690  pcelnn  16779  expnprm  16811  prmpwdvds  16813  pockthg  16815  odcau  19514  plyco  26171  dgrcolem1  26204  vieta1  26245  taylthlem1  26306  ftalem2  27009  vmaprm  27052  vma1  27101  1sgmprm  27135  chtublem  27147  fsumvma2  27150  chpchtsum  27155  logfacrlim2  27162  bposlem2  27221  bposlem6  27225  lgsval2lem  27243  2sqblem  27367  chebbnd1lem1  27405  rplogsumlem2  27421  rpvmasumlem  27423  ostth3  27574  cos9thpiminplylem1  33790  cos9thpiminplylem2  33791  cos9thpiminplylem3  33792  nn0prpwlem  36355  nn0prpw  36356  bfplem1  37861  dvrelogpow2b  42100  aks4d1p1p4  42103  aks4d1p1p7  42106  aks4d1p1p5  42107  aks4d1p1  42108  aks4d1p3  42110  aks4d1p8d2  42117  aks6d1c1p8  42147  2ap1caineq  42177  aks6d1c7  42216  readvrec2  42393  fltnltalem  42694  fltnlta  42695  3cubeslem3r  42719  rmxy1  42954  jm2.18  43020  jm2.23  43028  jm3.1lem2  43050  areaquad  43248  radcnvrat  44346  stoweidlem3  46040  wallispilem2  46103  stirlinglem1  46111  stirlinglem7  46117  stirlinglem10  46120  lighneal  47641  blenpw2m1  48610