MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp1d 13499
Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
exp1d (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 exp1 13429 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7138  cc 10520  1c1 10523  cexp 13423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-seq 13363  df-exp 13424
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  13647  fsumcube  15403  sin01gt0  15532  rplpwr  15894  prmdvdsexp  16046  phiprm  16101  eulerthlem2  16106  pcelnn  16193  expnprm  16225  prmpwdvds  16227  pockthg  16229  odcau  18718  plyco  24827  dgrcolem1  24859  vieta1  24897  taylthlem1  24957  ftalem2  25648  vmaprm  25691  vma1  25740  1sgmprm  25772  chtublem  25784  fsumvma2  25787  chpchtsum  25792  logfacrlim2  25799  bposlem2  25858  bposlem6  25862  lgsval2lem  25880  2sqblem  26004  chebbnd1lem1  26042  rplogsumlem2  26058  rpvmasumlem  26060  ostth3  26211  nn0prpwlem  33688  nn0prpw  33689  bfplem1  35160  fltnltalem  39450  fltnlta  39451  3cubeslem3r  39460  rmxy1  39695  jm2.18  39761  jm2.23  39769  jm3.1lem2  39791  areaquad  39998  radcnvrat  40854  stoweidlem3  42487  wallispilem2  42550  stirlinglem1  42558  stirlinglem7  42564  stirlinglem10  42567  lighneal  43971  blenpw2m1  44834
  Copyright terms: Public domain W3C validator