Theorem exp1d 14064

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 13990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14216  fsumcube  15983  sin01gt0  16115  rplpwr  16485  prmdvdsexp  16642  phiprm  16704  eulerthlem2  16709  pcelnn  16798  expnprm  16830  prmpwdvds  16832  pockthg  16834  odcau  19533  plyco  26202  dgrcolem1  26235  vieta1  26276  taylthlem1  26337  ftalem2  27040  vmaprm  27083  vma1  27132  1sgmprm  27166  chtublem  27178  fsumvma2  27181  chpchtsum  27186  logfacrlim2  27193  bposlem2  27252  bposlem6  27256  lgsval2lem  27274  2sqblem  27398  chebbnd1lem1  27436  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  ostth3  27605  cos9thpiminplylem1  33939  cos9thpiminplylem2  33940  cos9thpiminplylem3  33941  nn0prpwlem  36516  nn0prpw  36517  bfplem1  38019  dvrelogpow2b  42318  aks4d1p1p4  42321  aks4d1p1p7  42324  aks4d1p1p5  42325  aks4d1p1  42326  aks4d1p3  42328  aks4d1p8d2  42335  aks6d1c1p8  42365  2ap1caineq  42395  aks6d1c7  42434  readvrec2  42612  fltnltalem  42901  fltnlta  42902  3cubeslem3r  42925  rmxy1  43160  jm2.18  43226  jm2.23  43234  jm3.1lem2  43256  areaquad  43454  radcnvrat  44551  stoweidlem3  46243  wallispilem2  46306  stirlinglem1  46314  stirlinglem7  46320  stirlinglem10  46323  lighneal  47853  blenpw2m1  48821