Theorem exp1d 14168

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14094	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14320  fsumcube  16104  sin01gt0  16236  rplpwr  16606  prmdvdsexp  16764  phiprm  16826  eulerthlem2  16831  pcelnn  16920  expnprm  16952  prmpwdvds  16954  pockthg  16956  odcau  19665  plyco  26359  dgrcolem1  26391  vieta1  26434  taylthlem1  26494  ftalem2  27196  vmaprm  27239  vma1  27288  1sgmprm  27321  chtublem  27333  fsumvma2  27336  chpchtsum  27341  logfacrlim2  27348  bposlem2  27407  bposlem6  27411  lgsval2lem  27429  2sqblem  27553  chebbnd1lem1  27591  rplogsumlem2  27607  rpvmasumlem  27609  ostth3  27760  cos9thpiminplylem1  34089  cos9thpiminplylem2  34090  cos9thpiminplylem3  34091  nn0prpwlem  36695  nn0prpw  36696  bfplem1  38333  dvrelogpow2b  42697  aks4d1p1p4  42700  aks4d1p1p7  42703  aks4d1p1p5  42704  aks4d1p1  42705  aks4d1p3  42707  aks4d1p8d2  42714  aks6d1c1p8  42744  2ap1caineq  42774  aks6d1c7  42813  readvrec2  42982  fltnltalem  43256  fltnlta  43257  3cubeslem3r  43280  rmxy1  43511  jm2.18  43577  jm2.23  43585  jm3.1lem2  43607  areaquad  43805  radcnvrat  44888  stoweidlem3  46575  wallispilem2  46638  stirlinglem1  46646  stirlinglem7  46652  stirlinglem10  46655  lighneal  48218  blenpw2m1  49210