Theorem exp1d 14264

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14190	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  1c1 11182  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  faclbnd4lem1  14417  fsumcube  16206  sin01gt0  16338  rplpwr  16712  prmdvdsexp  16871  phiprm  16934  eulerthlem2  16939  pcelnn  17028  expnprm  17060  prmpwdvds  17062  pockthg  17064  odcau  19798  plyco  26540  dgrcolem1  26572  vieta1  26617  taylthlem1  26682  ftalem2  27383  vmaprm  27426  vma1  27475  1sgmprm  27508  chtublem  27520  fsumvma2  27523  chpchtsum  27528  logfacrlim2  27535  bposlem2  27594  bposlem6  27598  lgsval2lem  27616  2sqblem  27740  chebbnd1lem1  27778  rplogsumlem2  27794  rpvmasumlem  27796  ostth3  27947  cos9thpiminplylem1  34396  cos9thpiminplylem2  34397  cos9thpiminplylem3  34398  nn0prpwlem  37080  nn0prpw  37081  bfplem1  38724  dvrelogpow2b  43086  aks4d1p1p4  43089  aks4d1p1p7  43092  aks4d1p1p5  43093  aks4d1p1  43094  aks4d1p3  43096  aks4d1p8d2  43103  aks6d1c1p8  43133  2ap1caineq  43163  aks6d1c7  43202  readvrec2  43380  fltnltalem  43627  fltnlta  43628  3cubeslem3r  43651  rmxy1  43882  jm2.18  43948  jm2.23  43956  jm3.1lem2  43978  areaquad  44176  radcnvrat  45257  stoweidlem3  46957  wallispilem2  47020  stirlinglem1  47028  stirlinglem7  47034  stirlinglem10  47037  lighneal  48640  blenpw2m1  49635