Theorem exp1d 14094

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14020	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14246  fsumcube  16016  sin01gt0  16148  rplpwr  16518  prmdvdsexp  16676  phiprm  16738  eulerthlem2  16743  pcelnn  16832  expnprm  16864  prmpwdvds  16866  pockthg  16868  odcau  19570  plyco  26216  dgrcolem1  26248  vieta1  26289  taylthlem1  26350  ftalem2  27051  vmaprm  27094  vma1  27143  1sgmprm  27176  chtublem  27188  fsumvma2  27191  chpchtsum  27196  logfacrlim2  27203  bposlem2  27262  bposlem6  27266  lgsval2lem  27284  2sqblem  27408  chebbnd1lem1  27446  rplogsumlem2  27462  rpvmasumlem  27464  ostth3  27615  cos9thpiminplylem1  33942  cos9thpiminplylem2  33943  cos9thpiminplylem3  33944  nn0prpwlem  36520  nn0prpw  36521  bfplem1  38157  dvrelogpow2b  42521  aks4d1p1p4  42524  aks4d1p1p7  42527  aks4d1p1p5  42528  aks4d1p1  42529  aks4d1p3  42531  aks4d1p8d2  42538  aks6d1c1p8  42568  2ap1caineq  42598  aks6d1c7  42637  readvrec2  42807  fltnltalem  43109  fltnlta  43110  3cubeslem3r  43133  rmxy1  43368  jm2.18  43434  jm2.23  43442  jm3.1lem2  43464  areaquad  43662  radcnvrat  44759  stoweidlem3  46449  wallispilem2  46512  stirlinglem1  46520  stirlinglem7  46526  stirlinglem10  46529  lighneal  48086  blenpw2m1  49067