Theorem exp1d 14179

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14105	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  1c1 11102  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14331  fsumcube  16115  sin01gt0  16247  rplpwr  16617  prmdvdsexp  16775  phiprm  16837  eulerthlem2  16842  pcelnn  16931  expnprm  16963  prmpwdvds  16965  pockthg  16967  odcau  19675  plyco  26379  dgrcolem1  26411  vieta1  26454  taylthlem1  26514  ftalem2  27216  vmaprm  27259  vma1  27308  1sgmprm  27341  chtublem  27353  fsumvma2  27356  chpchtsum  27361  logfacrlim2  27368  bposlem2  27427  bposlem6  27431  lgsval2lem  27449  2sqblem  27573  chebbnd1lem1  27611  rplogsumlem2  27627  rpvmasumlem  27629  ostth3  27780  cos9thpiminplylem1  34150  cos9thpiminplylem2  34151  cos9thpiminplylem3  34152  nn0prpwlem  36811  nn0prpw  36812  bfplem1  38451  dvrelogpow2b  42813  aks4d1p1p4  42816  aks4d1p1p7  42819  aks4d1p1p5  42820  aks4d1p1  42821  aks4d1p3  42823  aks4d1p8d2  42830  aks6d1c1p8  42860  2ap1caineq  42890  aks6d1c7  42929  readvrec2  43100  fltnltalem  43374  fltnlta  43375  3cubeslem3r  43398  rmxy1  43629  jm2.18  43695  jm2.23  43703  jm3.1lem2  43725  areaquad  43923  radcnvrat  45004  stoweidlem3  46697  wallispilem2  46760  stirlinglem1  46768  stirlinglem7  46774  stirlinglem10  46777  lighneal  48340  blenpw2m1  49336