Theorem exp1d 14050

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 13976	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  1c1 11014  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14202  fsumcube  15969  sin01gt0  16101  rplpwr  16471  prmdvdsexp  16628  phiprm  16690  eulerthlem2  16695  pcelnn  16784  expnprm  16816  prmpwdvds  16818  pockthg  16820  odcau  19518  plyco  26174  dgrcolem1  26207  vieta1  26248  taylthlem1  26309  ftalem2  27012  vmaprm  27055  vma1  27104  1sgmprm  27138  chtublem  27150  fsumvma2  27153  chpchtsum  27158  logfacrlim2  27165  bposlem2  27224  bposlem6  27228  lgsval2lem  27246  2sqblem  27370  chebbnd1lem1  27408  rplogsumlem2  27424  rpvmasumlem  27426  ostth3  27577  cos9thpiminplylem1  33816  cos9thpiminplylem2  33817  cos9thpiminplylem3  33818  nn0prpwlem  36387  nn0prpw  36388  bfplem1  37882  dvrelogpow2b  42181  aks4d1p1p4  42184  aks4d1p1p7  42187  aks4d1p1p5  42188  aks4d1p1  42189  aks4d1p3  42191  aks4d1p8d2  42198  aks6d1c1p8  42228  2ap1caineq  42258  aks6d1c7  42297  readvrec2  42479  fltnltalem  42780  fltnlta  42781  3cubeslem3r  42804  rmxy1  43039  jm2.18  43105  jm2.23  43113  jm3.1lem2  43135  areaquad  43333  radcnvrat  44431  stoweidlem3  46125  wallispilem2  46188  stirlinglem1  46196  stirlinglem7  46202  stirlinglem10  46205  lighneal  47735  blenpw2m1  48704