Theorem exp1d 14113

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14039	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14265  fsumcube  16033  sin01gt0  16165  rplpwr  16535  prmdvdsexp  16692  phiprm  16754  eulerthlem2  16759  pcelnn  16848  expnprm  16880  prmpwdvds  16882  pockthg  16884  odcau  19541  plyco  26153  dgrcolem1  26186  vieta1  26227  taylthlem1  26288  ftalem2  26991  vmaprm  27034  vma1  27083  1sgmprm  27117  chtublem  27129  fsumvma2  27132  chpchtsum  27137  logfacrlim2  27144  bposlem2  27203  bposlem6  27207  lgsval2lem  27225  2sqblem  27349  chebbnd1lem1  27387  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  ostth3  27556  cos9thpiminplylem1  33779  cos9thpiminplylem2  33780  cos9thpiminplylem3  33781  nn0prpwlem  36317  nn0prpw  36318  bfplem1  37823  dvrelogpow2b  42063  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p1p5  42070  aks4d1p1  42071  aks4d1p3  42073  aks4d1p8d2  42080  aks6d1c1p8  42110  2ap1caineq  42140  aks6d1c7  42179  readvrec2  42356  fltnltalem  42657  fltnlta  42658  3cubeslem3r  42682  rmxy1  42918  jm2.18  42984  jm2.23  42992  jm3.1lem2  43014  areaquad  43212  radcnvrat  44310  stoweidlem3  46008  wallispilem2  46071  stirlinglem1  46079  stirlinglem7  46085  stirlinglem10  46088  lighneal  47616  blenpw2m1  48572