Theorem exp1d 14163

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14090	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  1c1 11138  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14314  fsumcube  16078  sin01gt0  16208  rplpwr  16577  prmdvdsexp  16734  phiprm  16796  eulerthlem2  16801  pcelnn  16890  expnprm  16922  prmpwdvds  16924  pockthg  16926  odcau  19590  plyco  26216  dgrcolem1  26249  vieta1  26290  taylthlem1  26351  ftalem2  27053  vmaprm  27096  vma1  27145  1sgmprm  27179  chtublem  27191  fsumvma2  27194  chpchtsum  27199  logfacrlim2  27206  bposlem2  27265  bposlem6  27269  lgsval2lem  27287  2sqblem  27411  chebbnd1lem1  27449  rplogsumlem2  27465  rpvmasumlem  27467  ostth3  27618  nn0prpwlem  36282  nn0prpw  36283  bfplem1  37788  dvrelogpow2b  42028  aks4d1p1p4  42031  aks4d1p1p7  42034  aks4d1p1p5  42035  aks4d1p1  42036  aks4d1p3  42038  aks4d1p8d2  42045  aks6d1c1p8  42075  2ap1caineq  42105  aks6d1c7  42144  readvrec2  42354  fltnltalem  42635  fltnlta  42636  3cubeslem3r  42661  rmxy1  42897  jm2.18  42963  jm2.23  42971  jm3.1lem2  42993  areaquad  43191  radcnvrat  44290  stoweidlem3  45975  wallispilem2  46038  stirlinglem1  46046  stirlinglem7  46052  stirlinglem10  46055  lighneal  47556  blenpw2m1  48458