Theorem exp1d 14314

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  1c1 11231  ↑cexp 14234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-seq 14175  df-exp 14235

This theorem is used by:  faclbnd4lem1  14467  fsumcube  16258  sin01gt0  16390  rplpwr  16764  prmdvdsexp  16923  phiprm  16986  eulerthlem2  16991  pcelnn  17080  expnprm  17112  prmpwdvds  17114  pockthg  17116  odcau  19851  plyco  26593  dgrcolem1  26625  vieta1  26668  taylthlem1  26733  ftalem2  27434  vmaprm  27477  vma1  27526  1sgmprm  27559  chtublem  27571  fsumvma2  27574  chpchtsum  27579  logfacrlim2  27586  bposlem2  27645  bposlem6  27649  lgsval2lem  27667  2sqblem  27791  chebbnd1lem1  27829  rplogsumlem2  27845  rpvmasumlem  27847  ostth3  27998  cos9thpiminplylem1  34497  cos9thpiminplylem2  34498  cos9thpiminplylem3  34499  nn0prpwlem  37301  nn0prpw  37302  bfplem1  38959  dvrelogpow2b  43321  aks4d1p1p4  43324  aks4d1p1p7  43327  aks4d1p1p5  43328  aks4d1p1  43329  aks4d1p3  43331  aks4d1p8d2  43338  aks6d1c1p8  43368  2ap1caineq  43398  aks6d1c7  43437  readvrec2  43616  fltnltalem  43877  fltnlta  43878  3cubeslem3r  43901  rmxy1  44133  jm2.18  44199  jm2.23  44207  jm3.1lem2  44229  areaquad  44421  radcnvrat  45501  stoweidlem3  47228  wallispilem2  47291  stirlinglem1  47299  stirlinglem7  47305  stirlinglem10  47308  lighneal  48911  blenpw2m1  49906