Theorem exp1d 14159

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14085	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14311  fsumcube  16076  sin01gt0  16208  rplpwr  16577  prmdvdsexp  16734  phiprm  16796  eulerthlem2  16801  pcelnn  16890  expnprm  16922  prmpwdvds  16924  pockthg  16926  odcau  19585  plyco  26198  dgrcolem1  26231  vieta1  26272  taylthlem1  26333  ftalem2  27036  vmaprm  27079  vma1  27128  1sgmprm  27162  chtublem  27174  fsumvma2  27177  chpchtsum  27182  logfacrlim2  27189  bposlem2  27248  bposlem6  27252  lgsval2lem  27270  2sqblem  27394  chebbnd1lem1  27432  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  ostth3  27601  cos9thpiminplylem1  33816  cos9thpiminplylem2  33817  cos9thpiminplylem3  33818  nn0prpwlem  36340  nn0prpw  36341  bfplem1  37846  dvrelogpow2b  42081  aks4d1p1p4  42084  aks4d1p1p7  42087  aks4d1p1p5  42088  aks4d1p1  42089  aks4d1p3  42091  aks4d1p8d2  42098  aks6d1c1p8  42128  2ap1caineq  42158  aks6d1c7  42197  readvrec2  42404  fltnltalem  42685  fltnlta  42686  3cubeslem3r  42710  rmxy1  42946  jm2.18  43012  jm2.23  43020  jm3.1lem2  43042  areaquad  43240  radcnvrat  44338  stoweidlem3  46032  wallispilem2  46095  stirlinglem1  46103  stirlinglem7  46109  stirlinglem10  46112  lighneal  47625  blenpw2m1  48559