Theorem exp1d 14209

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  faclbnd4lem1  14361  fsumcube  16152  sin01gt0  16284  rplpwr  16654  prmdvdsexp  16812  phiprm  16874  eulerthlem2  16879  pcelnn  16968  expnprm  17000  prmpwdvds  17002  pockthg  17004  odcau  19737  plyco  26474  dgrcolem1  26506  vieta1  26551  taylthlem1  26616  ftalem2  27318  vmaprm  27361  vma1  27410  1sgmprm  27443  chtublem  27455  fsumvma2  27458  chpchtsum  27463  logfacrlim2  27470  bposlem2  27529  bposlem6  27533  lgsval2lem  27551  2sqblem  27675  chebbnd1lem1  27713  rplogsumlem2  27729  rpvmasumlem  27731  ostth3  27882  cos9thpiminplylem1  34300  cos9thpiminplylem2  34301  cos9thpiminplylem3  34302  nn0prpwlem  36949  nn0prpw  36950  bfplem1  38580  dvrelogpow2b  42942  aks4d1p1p4  42945  aks4d1p1p7  42948  aks4d1p1p5  42949  aks4d1p1  42950  aks4d1p3  42952  aks4d1p8d2  42959  aks6d1c1p8  42989  2ap1caineq  43019  aks6d1c7  43058  readvrec2  43244  fltnltalem  43516  fltnlta  43517  3cubeslem3r  43540  rmxy1  43771  jm2.18  43837  jm2.23  43845  jm3.1lem2  43867  areaquad  44065  radcnvrat  45146  stoweidlem3  46839  wallispilem2  46902  stirlinglem1  46910  stirlinglem7  46916  stirlinglem10  46919  lighneal  48522  blenpw2m1  49517