Theorem exp1d 14066

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 13992	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14218  fsumcube  15985  sin01gt0  16117  rplpwr  16487  prmdvdsexp  16644  phiprm  16706  eulerthlem2  16711  pcelnn  16800  expnprm  16832  prmpwdvds  16834  pockthg  16836  odcau  19501  plyco  26162  dgrcolem1  26195  vieta1  26236  taylthlem1  26297  ftalem2  27000  vmaprm  27043  vma1  27092  1sgmprm  27126  chtublem  27138  fsumvma2  27141  chpchtsum  27146  logfacrlim2  27153  bposlem2  27212  bposlem6  27216  lgsval2lem  27234  2sqblem  27358  chebbnd1lem1  27396  rplogsumlem2  27412  rpvmasumlem  27414  ostth3  27565  cos9thpiminplylem1  33748  cos9thpiminplylem2  33749  cos9thpiminplylem3  33750  nn0prpwlem  36295  nn0prpw  36296  bfplem1  37801  dvrelogpow2b  42041  aks4d1p1p4  42044  aks4d1p1p7  42047  aks4d1p1p5  42048  aks4d1p1  42049  aks4d1p3  42051  aks4d1p8d2  42058  aks6d1c1p8  42088  2ap1caineq  42118  aks6d1c7  42157  readvrec2  42334  fltnltalem  42635  fltnlta  42636  3cubeslem3r  42660  rmxy1  42895  jm2.18  42961  jm2.23  42969  jm3.1lem2  42991  areaquad  43189  radcnvrat  44287  stoweidlem3  45985  wallispilem2  46048  stirlinglem1  46056  stirlinglem7  46062  stirlinglem10  46065  lighneal  47596  blenpw2m1  48565