Theorem exp1d 14197

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14123	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  faclbnd4lem1  14349  fsumcube  16139  sin01gt0  16271  rplpwr  16641  prmdvdsexp  16799  phiprm  16861  eulerthlem2  16866  pcelnn  16955  expnprm  16987  prmpwdvds  16989  pockthg  16991  odcau  19705  plyco  26435  dgrcolem1  26467  vieta1  26510  taylthlem1  26573  ftalem2  27275  vmaprm  27318  vma1  27367  1sgmprm  27400  chtublem  27412  fsumvma2  27415  chpchtsum  27420  logfacrlim2  27427  bposlem2  27486  bposlem6  27490  lgsval2lem  27508  2sqblem  27632  chebbnd1lem1  27670  rplogsumlem2  27686  rpvmasumlem  27688  ostth3  27839  cos9thpiminplylem1  34203  cos9thpiminplylem2  34204  cos9thpiminplylem3  34205  nn0prpwlem  36874  nn0prpw  36875  bfplem1  38514  dvrelogpow2b  42876  aks4d1p1p4  42879  aks4d1p1p7  42882  aks4d1p1p5  42883  aks4d1p1  42884  aks4d1p3  42886  aks4d1p8d2  42893  aks6d1c1p8  42923  2ap1caineq  42953  aks6d1c7  42992  readvrec2  43163  fltnltalem  43435  fltnlta  43436  3cubeslem3r  43459  rmxy1  43690  jm2.18  43756  jm2.23  43764  jm3.1lem2  43786  areaquad  43984  radcnvrat  45065  stoweidlem3  46758  wallispilem2  46821  stirlinglem1  46829  stirlinglem7  46835  stirlinglem10  46838  lighneal  48404  blenpw2m1  49400