Theorem exp1d 14191

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14118	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14342  fsumcube  16108  sin01gt0  16238  rplpwr  16605  prmdvdsexp  16762  phiprm  16824  eulerthlem2  16829  pcelnn  16917  expnprm  16949  prmpwdvds  16951  pockthg  16953  odcau  19646  plyco  26300  dgrcolem1  26333  vieta1  26372  taylthlem1  26433  ftalem2  27135  vmaprm  27178  vma1  27227  1sgmprm  27261  chtublem  27273  fsumvma2  27276  chpchtsum  27281  logfacrlim2  27288  bposlem2  27347  bposlem6  27351  lgsval2lem  27369  2sqblem  27493  chebbnd1lem1  27531  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  ostth3  27700  nn0prpwlem  36288  nn0prpw  36289  bfplem1  37782  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p1  42033  aks4d1p3  42035  aks4d1p8d2  42042  aks6d1c1p8  42072  2ap1caineq  42102  aks6d1c7  42141  fltnltalem  42617  fltnlta  42618  3cubeslem3r  42643  rmxy1  42879  jm2.18  42945  jm2.23  42953  jm3.1lem2  42975  areaquad  43177  radcnvrat  44283  stoweidlem3  45924  wallispilem2  45987  stirlinglem1  45995  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  lighneal  47485  blenpw2m1  48313