Theorem exp1d 14151

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14077	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  1c1 11071  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14303  fsumcube  16073  sin01gt0  16205  rplpwr  16575  prmdvdsexp  16733  phiprm  16795  eulerthlem2  16800  pcelnn  16889  expnprm  16921  prmpwdvds  16923  pockthg  16925  odcau  19627  plyco  26281  dgrcolem1  26313  vieta1  26353  taylthlem1  26413  ftalem2  27115  vmaprm  27158  vma1  27207  1sgmprm  27240  chtublem  27252  fsumvma2  27255  chpchtsum  27260  logfacrlim2  27267  bposlem2  27326  bposlem6  27330  lgsval2lem  27348  2sqblem  27472  chebbnd1lem1  27510  rplogsumlem2  27526  rpvmasumlem  27528  ostth3  27679  cos9thpiminplylem1  34040  cos9thpiminplylem2  34041  cos9thpiminplylem3  34042  nn0prpwlem  36646  nn0prpw  36647  bfplem1  38285  dvrelogpow2b  42649  aks4d1p1p4  42652  aks4d1p1p7  42655  aks4d1p1p5  42656  aks4d1p1  42657  aks4d1p3  42659  aks4d1p8d2  42666  aks6d1c1p8  42696  2ap1caineq  42726  aks6d1c7  42765  readvrec2  42934  fltnltalem  43208  fltnlta  43209  3cubeslem3r  43232  rmxy1  43463  jm2.18  43529  jm2.23  43537  jm3.1lem2  43559  areaquad  43757  radcnvrat  44854  stoweidlem3  46541  wallispilem2  46604  stirlinglem1  46612  stirlinglem7  46618  stirlinglem10  46621  lighneal  48184  blenpw2m1  49165