Theorem phiprm 16837

Description: Value of the Euler ϕ function at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phiprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))

Proof of Theorem phiprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12245	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		phiprmpw 16836	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑1)) = ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘(𝑃↑1)) = ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)))
4		prmz 16734	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12702	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
6	5	exp1d 14179	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑1) = 𝑃)
7	6	fveq2d 6887	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘(𝑃↑1)) = (ϕ‘𝑃))
8		1m1e0 12314	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
9	8	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑃↑(1 − 1)) = (𝑃↑0)
10	5	exp0d 14178	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
11	9, 10	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑(1 − 1)) = 1)
12	11	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (1 · (𝑃 − 1)))
13		ax-1cn 11159	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		subcl 11457	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
15	5, 13, 14	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
16	15	mullidd 11228	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
17	12, 16	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
18	3, 7, 17	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   − cmin 11442  ℕcn 12234  ↑cexp 14099  ℙcprime 16730  ϕcphi 16824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-prm 16731  df-phi 16826

This theorem is referenced by:  fermltl  16844  prmdiv  16845  vfermltl  16862  pockthlem  16966  lgslem1  27439  lgsqrlem2  27489  fmtnoprmfac1  48294