Theorem phiprm 16934

Description: Value of the Euler ϕ function at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phiprm	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))

Proof of Theorem phiprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12327	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		phiprmpw 16933	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑1)) = ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘(𝑃↑1)) = ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)))
4		prmz 16830	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12785	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
6	5	exp1d 14264	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑1) = 𝑃)
7	6	fveq2d 6881	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘(𝑃↑1)) = (ϕ‘𝑃))
8		1m1e0 12396	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
9	8	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑃↑(1 − 1)) = (𝑃↑0)
10	5	exp0d 14263	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
11	9, 10	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑(1 − 1)) = 1)
12	11	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (1 · (𝑃 − 1)))
13		ax-1cn 11239	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		subcl 11537	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
15	5, 13, 14	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
16	15	mullidd 11308	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
17	12, 16	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃↑(1 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (𝑃 − 1))
18	3, 7, 17	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   − cmin 11522  ℕcn 12316  ↑cexp 14184  ℙcprime 16826  ϕcphi 16921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-phi 16923

This theorem is used by:  fermltl  16941  prmdiv  16942  vfermltl  16959  pockthlem  17063  lgslem1  27606  lgsqrlem2  27656  fmtnoprmfac1  48594