Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem3 39280
 Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 30-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem3.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem3.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem3 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem3
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem3.1 . . 3 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 lcmineqlem3.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lcmineqlem3.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 lcmineqlem3.4 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
51, 2, 3, 4lcmineqlem2 39279 . 2 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
6 elunitcn 12846 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
763ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 elfznn0 12995 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
983ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
12113ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
137, 9, 12expaddd 13508 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)))
14133expa 1115 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)))
1514itgeq2dv 24383 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥)
1615oveq2d 7156 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
1716sumeq2dv 15051 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
18 0red 10633 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 0 ∈ ℝ)
19 1red 10631 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 1 ∈ ℝ)
20 0le1 11152 . . . . . . 7 0 ≤ 1
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 0 ≤ 1)
2211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
238adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2422, 23nn0addcld 11947 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑀 − 1) + 𝑘) ∈ ℕ0)
2518, 19, 21, 24itgpowd 24651 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)))
263nncnd 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2726adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
28 1cnd 10625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 1 ∈ ℂ)
29 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
308, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3130adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3227, 28, 31nppcand 11011 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1) = (𝑀 + 𝑘))
3332oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1↑(𝑀 + 𝑘)))
3432oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (0↑(𝑀 + 𝑘)))
3533, 34oveq12d 7158 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))))
363adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
37 nnnn0addcl 11915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3836, 23, 37syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3938nnzd 12074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ)
40 1exp 13454 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
42 0exp 13460 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
4338, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
4441, 43oveq12d 7158 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))) = (1 − 0))
4535, 44eqtrd 2857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = (1 − 0))
46 1m0e1 11746 . . . . . . 7 (1 − 0) = 1
4745, 46syl6eq 2873 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = 1)
4847, 32oveq12d 7158 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
4925, 48eqtrd 2857 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
5049oveq2d 7156 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
5150sumeq2dv 15051 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
525, 17, 513eqtr2d 2863 1 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  Ccbc 13658  Σcsu 15033  ∫citg 24220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-symdif 4193  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-mbf 24221  df-itg1 24222  df-itg2 24223  df-ibl 24224  df-itg 24225  df-0p 24272  df-limc 24467  df-dv 24468 This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  39283
 Copyright terms: Public domain W3C validator