Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem3 42012
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 30-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem3.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem3.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem3 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem3
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem3.1 . . 3 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 lcmineqlem3.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lcmineqlem3.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 lcmineqlem3.4 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
51, 2, 3, 4lcmineqlem2 42011 . 2 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
6 elunitcn 13504 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
763ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 elfznn0 13656 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
983ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
12113ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
137, 9, 12expaddd 14184 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)))
14133expa 1117 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)))
1514itgeq2dv 25831 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥)
1615oveq2d 7446 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
1716sumeq2dv 15734 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
18 0red 11261 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 0 ∈ ℝ)
19 1red 11259 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 1 ∈ ℝ)
20 0le1 11783 . . . . . . 7 0 ≤ 1
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 0 ≤ 1)
2211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
238adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2422, 23nn0addcld 12588 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑀 − 1) + 𝑘) ∈ ℕ0)
2518, 19, 21, 24itgpowd 26105 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)))
263nncnd 12279 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
28 1cnd 11253 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 1 ∈ ℂ)
29 nn0cn 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
308, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3227, 28, 31nppcand 11642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1) = (𝑀 + 𝑘))
3332oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1↑(𝑀 + 𝑘)))
3432oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (0↑(𝑀 + 𝑘)))
3533, 34oveq12d 7448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))))
363adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
37 nnnn0addcl 12553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3836, 23, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3938nnzd 12637 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ)
40 1exp 14128 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
42 0exp 14134 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
4338, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
4441, 43oveq12d 7448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))) = (1 − 0))
4535, 44eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = (1 − 0))
46 1m0e1 12384 . . . . . . 7 (1 − 0) = 1
4745, 46eqtrdi 2790 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = 1)
4847, 32oveq12d 7448 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
4925, 48eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
5049oveq2d 7446 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
5150sumeq2dv 15734 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
525, 17, 513eqtr2d 2780 1 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  cexp 14098  Ccbc 14337  Σcsu 15718  citg 25666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  42015
  Copyright terms: Public domain W3C validator