Theorem lcmineqlem3 39967

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 30-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem3.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem3.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem3	⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem3.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem3.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem2 39966	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))
6		elunitcn 13129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		elfznn0 13278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
12	11	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
13	7, 9, 12	expaddd 13794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)))
14	13	3expa 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)))
15	14	itgeq2dv 24851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥)
16	15	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))
17	16	sumeq2dv 15343	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))
18		0red 10909	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 0 ∈ ℝ)
19		1red 10907	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 1 ∈ ℝ)
20		0le1 11428	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 0 ≤ 1)
22	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
23	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	22, 23	nn0addcld 12227	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑀 − 1) + 𝑘) ∈ ℕ0)
25	18, 19, 21, 24	itgpowd 25119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)))
26	3	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
28		1cnd 10901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 1 ∈ ℂ)
29		nn0cn 12173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
30	8, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℂ)
32	27, 28, 31	nppcand 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1) = (𝑀 + 𝑘))
33	32	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1↑(𝑀 + 𝑘)))
34	32	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (0↑(𝑀 + 𝑘)))
35	33, 34	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))))
36	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
37		nnnn0addcl 12193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
38	36, 23, 37	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
39	38	nnzd 12354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ)
40		1exp 13740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
42		0exp 13746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
43	38, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
44	41, 43	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))) = (1 − 0))
45	35, 44	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = (1 − 0))
46		1m0e1 12024	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 0) = 1
47	45, 46	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = 1)
48	47, 32	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
49	25, 48	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
50	49	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
51	50	sumeq2dv 15343	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
52	5, 17, 51	3eqtr2d 2784	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  [,]cicc 13011  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  Ccbc 13944  Σcsu 15325  ∫citg 24687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4173  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  39970