Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem3 42032
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 30-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem3.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem3.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem3 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem3
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem3.1 . . 3 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 lcmineqlem3.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lcmineqlem3.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 lcmineqlem3.4 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
51, 2, 3, 4lcmineqlem2 42031 . 2 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
6 elunitcn 13508 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
763ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 elfznn0 13660 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
983ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
12113ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
137, 9, 12expaddd 14188 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)))
14133expa 1119 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)))
1514itgeq2dv 25817 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥)
1615oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
1716sumeq2dv 15738 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
18 0red 11264 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 0 ∈ ℝ)
19 1red 11262 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 1 ∈ ℝ)
20 0le1 11786 . . . . . . 7 0 ≤ 1
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 0 ≤ 1)
2211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
238adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2422, 23nn0addcld 12591 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑀 − 1) + 𝑘) ∈ ℕ0)
2518, 19, 21, 24itgpowd 26091 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)))
263nncnd 12282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
28 1cnd 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 1 ∈ ℂ)
29 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
308, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3227, 28, 31nppcand 11645 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1) = (𝑀 + 𝑘))
3332oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1↑(𝑀 + 𝑘)))
3432oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (0↑(𝑀 + 𝑘)))
3533, 34oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))))
363adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
37 nnnn0addcl 12556 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3836, 23, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3938nnzd 12640 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ)
40 1exp 14132 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
42 0exp 14138 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
4338, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
4441, 43oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))) = (1 − 0))
4535, 44eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = (1 − 0))
46 1m0e1 12387 . . . . . . 7 (1 − 0) = 1
4745, 46eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = 1)
4847, 32oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
4925, 48eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
5049oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
5150sumeq2dv 15738 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
525, 17, 513eqtr2d 2783 1 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  cexp 14102  Ccbc 14341  Σcsu 15722  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  42035
  Copyright terms: Public domain W3C validator