Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem3 40488
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 30-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem3.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem3.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem3.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem3 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem3
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem3.1 . . 3 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 lcmineqlem3.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lcmineqlem3.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 lcmineqlem3.4 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
51, 2, 3, 4lcmineqlem2 40487 . 2 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
6 elunitcn 13385 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
763ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 elfznn0 13534 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
983ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
12113ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
137, 9, 12expaddd 14053 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)))
14133expa 1118 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)))
1514itgeq2dv 25146 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥)
1615oveq2d 7373 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
1716sumeq2dv 15588 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
18 0red 11158 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 0 ∈ ℝ)
19 1red 11156 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 1 ∈ ℝ)
20 0le1 11678 . . . . . . 7 0 ≤ 1
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 0 ≤ 1)
2211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
238adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2422, 23nn0addcld 12477 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑀 − 1) + 𝑘) ∈ ℕ0)
2518, 19, 21, 24itgpowd 25414 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)))
263nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
28 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 1 ∈ ℂ)
29 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
308, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3130adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3227, 28, 31nppcand 11537 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1) = (𝑀 + 𝑘))
3332oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1↑(𝑀 + 𝑘)))
3432oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (0↑(𝑀 + 𝑘)))
3533, 34oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))))
363adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
37 nnnn0addcl 12443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3836, 23, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3938nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ)
40 1exp 13997 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℤ → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑(𝑀 + 𝑘)) = 1)
42 0exp 14003 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
4338, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (0↑(𝑀 + 𝑘)) = 0)
4441, 43oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(𝑀 + 𝑘)) − (0↑(𝑀 + 𝑘))) = (1 − 0))
4535, 44eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = (1 − 0))
46 1m0e1 12274 . . . . . . 7 (1 − 0) = 1
4745, 46eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) = 1)
4847, 32oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((1↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) − (0↑(((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1))) / (((𝑀 − 1) + 𝑘) + 1)) = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
4925, 48eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥 = (1 / (𝑀 + 𝑘)))
5049oveq2d 7373 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
5150sumeq2dv 15588 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)(𝑥↑((𝑀 − 1) + 𝑘)) d𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
525, 17, 513eqtr2d 2782 1 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cexp 13967  Ccbc 14202  Σcsu 15570  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  40491
  Copyright terms: Public domain W3C validator