Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsssmfmbflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsssmfmbflem 42550
Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nsssmfmbflem.s 𝑆 = dom vol
nsssmfmbflem.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
nsssmfmbflem.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
nsssmfmbflem.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ 0)
Assertion
Ref Expression
nsssmfmbflem (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑆,𝑓   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem nsssmfmbflem
StepHypRef Expression
1 0red 10479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2 nsssmfmbflem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ 0)
31, 2fmptd 6732 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
4 reex 10463 . . . . 5 ℝ ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
6 nsssmfmbflem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
75, 6ssexd 5112 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
83, 7fexd 40872 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 nsssmfmbflem.s . . 3 𝑆 = dom vol
10 nsssmfmbflem.n . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
119, 6, 10, 2smfmbfcex 42532 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
12 eleq1 2868 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆)))
13 eleq1 2868 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
1413notbid 319 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓 ∈ MblFn ↔ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
1512, 14anbi12d 630 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn)))
1615spcegv 3535 . 2 (𝐹 ∈ V → ((𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)))
178, 11, 16sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wex 1759  wcel 2079  Vcvv 3432  wss 3854  cmpt 5035  dom cdm 5435  cfv 6217  cr 10371  0cc0 10372  volcvol 23735  MblFncmbf 23886  SMblFncsmblfn 42473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cc 9692  ax-ac2 9720  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-disj 4925  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-dju 9165  df-card 9203  df-acn 9206  df-ac 9377  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xadd 12347  df-ioo 12581  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-rest 16513  df-xmet 20208  df-met 20209  df-ovol 23736  df-vol 23737  df-mbf 23891  df-salg 42090  df-smblfn 42474
This theorem is referenced by:  nsssmfmbf  42551
  Copyright terms: Public domain W3C validator