Theorem nsssmfmbflem 46762

Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsssmfmbflem.s	⊢ 𝑆 = dom vol
nsssmfmbflem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
nsssmfmbflem.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
nsssmfmbflem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)

Assertion

Ref	Expression
nsssmfmbflem	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑆,𝑓   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem nsssmfmbflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2		nsssmfmbflem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
3	1, 2	fmptd 7141	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
4		reex 11253	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
6		nsssmfmbflem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
7	5, 6	ssexd 5333	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8	3, 7	fexd 7254	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		nsssmfmbflem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom vol
10		nsssmfmbflem.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
11	9, 6, 10, 2	smfmbfcex 46744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
12		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆)))
13		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
14	13	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓 ∈ MblFn ↔ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
15	12, 14	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn)))
16	15	spcegv 3600	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)))
17	8, 11, 16	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2108  Vcvv 3481   ⊆ wss 3966   ↦ cmpt 5234  dom cdm 5693  ‘cfv 6569  ℝcr 11161  0cc0 11162  volcvol 25523  MblFncmbf 25674  SMblFncsmblfn 46679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-inf2 9688  ax-cc 10482  ax-ac2 10510  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-disj 5119  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-of 7704  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-map 8876  df-pm 8877  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-sup 9489  df-inf 9490  df-oi 9557  df-dju 9948  df-card 9986  df-acn 9989  df-ac 10163  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-q 12998  df-rp 13042  df-xadd 13162  df-ioo 13397  df-ico 13399  df-icc 13400  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-fl 13838  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-sum 15729  df-rest 17478  df-xmet 21384  df-met 21385  df-ovol 25524  df-vol 25525  df-mbf 25679  df-salg 46293  df-smblfn 46680

This theorem is referenced by:  nsssmfmbf  46763