Theorem nsssmfmbflem 46769

Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsssmfmbflem.s	⊢ 𝑆 = dom vol
nsssmfmbflem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
nsssmfmbflem.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
nsssmfmbflem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)

Assertion

Ref	Expression
nsssmfmbflem	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑆,𝑓   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem nsssmfmbflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2		nsssmfmbflem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
3	1, 2	fmptd 7088	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
4		reex 11165	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
6		nsssmfmbflem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
7	5, 6	ssexd 5281	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8	3, 7	fexd 7203	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		nsssmfmbflem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom vol
10		nsssmfmbflem.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
11	9, 6, 10, 2	smfmbfcex 46751	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
12		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆)))
13		eleq1 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
14	13	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓 ∈ MblFn ↔ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
15	12, 14	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn)))
16	15	spcegv 3566	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)))
17	8, 11, 16	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5640  ‘cfv 6513  ℝcr 11073  0cc0 11074  volcvol 25370  MblFncmbf 25521  SMblFncsmblfn 46686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cc 10394  ax-ac2 10422  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-dju 9860  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10075  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xadd 13079  df-ioo 13316  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-rest 17391  df-xmet 21263  df-met 21264  df-ovol 25371  df-vol 25372  df-mbf 25526  df-salg 46300  df-smblfn 46687

This theorem is referenced by:  nsssmfmbf  46770