Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsssmfmbflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsssmfmbflem 46701
Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nsssmfmbflem.s 𝑆 = dom vol
nsssmfmbflem.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
nsssmfmbflem.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
nsssmfmbflem.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ 0)
Assertion
Ref Expression
nsssmfmbflem (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑆,𝑓   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem nsssmfmbflem
StepHypRef Expression
1 0red 11295 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2 nsssmfmbflem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ 0)
31, 2fmptd 7150 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
4 reex 11277 . . . . 5 ℝ ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
6 nsssmfmbflem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
75, 6ssexd 5342 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
83, 7fexd 7266 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 nsssmfmbflem.s . . 3 𝑆 = dom vol
10 nsssmfmbflem.n . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
119, 6, 10, 2smfmbfcex 46683 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
12 eleq1 2832 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆)))
13 eleq1 2832 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
1413notbid 318 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓 ∈ MblFn ↔ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
1512, 14anbi12d 631 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn)))
1615spcegv 3610 . 2 (𝐹 ∈ V → ((𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)))
178, 11, 16sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1777  wcel 2108  Vcvv 3488  wss 3976  cmpt 5249  dom cdm 5700  cfv 6575  cr 11185  0cc0 11186  volcvol 25519  MblFncmbf 25670  SMblFncsmblfn 46618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cc 10506  ax-ac2 10534  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-oi 9581  df-dju 9972  df-card 10010  df-acn 10013  df-ac 10187  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xadd 13178  df-ioo 13413  df-ico 13415  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-fl 13845  df-seq 14055  df-exp 14115  df-hash 14382  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15536  df-rlim 15537  df-sum 15737  df-rest 17484  df-xmet 21382  df-met 21383  df-ovol 25520  df-vol 25521  df-mbf 25675  df-salg 46232  df-smblfn 46619
This theorem is referenced by:  nsssmfmbf  46702
  Copyright terms: Public domain W3C validator