Theorem nsssmfmbflem 47533

Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsssmfmbflem.s	⊢ 𝑆 = dom vol
nsssmfmbflem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
nsssmfmbflem.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
nsssmfmbflem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)

Assertion

Ref	Expression
nsssmfmbflem	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑆,𝑓   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem nsssmfmbflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2		nsssmfmbflem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
3	1, 2	fmptd 7116	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
4		reex 11209	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
6		nsssmfmbflem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
7	5, 6	ssexd 5300	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8	3, 7	fexd 7232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		nsssmfmbflem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom vol
10		nsssmfmbflem.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
11	9, 6, 10, 2	smfmbfcex 47515	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
12		eleq1 2854	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆)))
13		eleq1 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
14	13	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓 ∈ MblFn ↔ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
15	12, 14	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn)))
16	15	spcegv 3559	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)))
17	8, 11, 16	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  ℝcr 11117  0cc0 11118  volcvol 25659  MblFncmbf 25810  SMblFncsmblfn 47450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-ac2 10465  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-ac 10119  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13156  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-rest 17500  df-xmet 21552  df-met 21553  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815  df-salg 47064  df-smblfn 47451

This theorem is used by:  nsssmfmbf  47534