Theorem fucoppccic 49382

Description: The opposite category of functors is isomorphic to the category of opposite functors. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppccic.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
fucoppccic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fucoppccic.x	⊢ 𝑋 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
fucoppccic.y	⊢ 𝑌 = ((oppCat‘𝐷) FuncCat (oppCat‘𝐸))
fucoppccic.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
fucoppccic.yb	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
fucoppccic.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
fucoppccic.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fucoppccic	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Proof of Theorem fucoppccic

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
2		fucoppccic.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		fucoppccic.xb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		fucoppccic.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
5	4, 2	elbasfv 17191	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑈 ∈ V)
6	4	catccat 18076	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝐶 ∈ Cat)
7	3, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		fucoppccic.yb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
10		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐸) = (oppCat‘𝐸)
11		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
12		fucoppccic.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
13		fucoppccic.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((oppCat‘𝐷) FuncCat (oppCat‘𝐸))
14		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
15		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸)) = (oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸)))
16		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓))) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓))))
17		fucoppccic.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
18		fucoppccic.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
19	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 4, 2, 1, 17, 18, 3, 8	fucoppc 49379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸))(𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)(𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓))))
20		df-br 5110	. . 3 ⊢ ((oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸))(𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)(𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓))) ↔ ⟨(oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸)), (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓)))⟩ ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
21	19, 20	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸)), (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓)))⟩ ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
22	1, 2, 7, 3, 8, 21	brcici 17768	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109   I cid 5534   ↾ cres 5642  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391  Basecbs 17185  Catccat 17631  oppCatcoppc 17678  Isociso 17714   ≃_𝑐 ccic 17763   Func cfunc 17822   Nat cnat 17912   FuncCat cfuc 17913  CatCatccatc 18066  oppFunccoppf 49099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-homf 17637  df-comf 17638  df-oppc 17679  df-sect 17715  df-inv 17716  df-iso 17717  df-cic 17764  df-func 17826  df-idfu 17827  df-cofu 17828  df-full 17874  df-fth 17875  df-nat 17914  df-fuc 17915  df-catc 18067  df-oppf 49100

This theorem is referenced by: (None)