Theorem fucoppccic 49402

Description: The opposite category of functors is isomorphic to the category of opposite functors. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoppccic.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
fucoppccic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fucoppccic.x	⊢ 𝑋 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
fucoppccic.y	⊢ 𝑌 = ((oppCat‘𝐷) FuncCat (oppCat‘𝐸))
fucoppccic.xb	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
fucoppccic.yb	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
fucoppccic.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
fucoppccic.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fucoppccic	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Proof of Theorem fucoppccic

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
2		fucoppccic.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		fucoppccic.xb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		fucoppccic.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
5	4, 2	elbasfv 17126	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑈 ∈ V)
6	4	catccat 18015	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝐶 ∈ Cat)
7	3, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		fucoppccic.yb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐸) = (oppCat‘𝐸)
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐸) = (𝐷 FuncCat 𝐸)
12		fucoppccic.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
13		fucoppccic.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((oppCat‘𝐷) FuncCat (oppCat‘𝐸))
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐷 Nat 𝐸) = (𝐷 Nat 𝐸)
15		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸)) = ( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸)))
16		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓))) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓))))
17		fucoppccic.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
18		fucoppccic.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
19	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 4, 2, 1, 17, 18, 3, 8	fucoppc 49399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸))(𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)(𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓))))
20		df-br 5093	. . 3 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸))(𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)(𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓))) ↔ ⟨( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸)), (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓)))⟩ ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
21	19, 20	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐸)), (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐸), 𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ ( I ↾ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)𝑓)))⟩ ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))
22	1, 2, 7, 3, 8, 21	brcici 17707	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   I cid 5513   ↾ cres 5621  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  Basecbs 17120  Catccat 17570  oppCatcoppc 17617  Isociso 17653   ≃_𝑐 ccic 17702   Func cfunc 17761   Nat cnat 17851   FuncCat cfuc 17852  CatCatccatc 18005   oppFunc coppf 49111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-comf 17577  df-oppc 17618  df-sect 17654  df-inv 17655  df-iso 17656  df-cic 17703  df-func 17765  df-idfu 17766  df-cofu 17767  df-full 17813  df-fth 17814  df-nat 17853  df-fuc 17854  df-catc 18006  df-oppf 49112

This theorem is referenced by: (None)