Theorem evl1vard 22231

Description: Polynomial evaluation builder for the variable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1var.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1var.v	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1var.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1vard.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1vard.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1vard.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1vard.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evl1vard	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑌) = 𝑌))

Proof of Theorem evl1vard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1vard.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20161	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		evl1var.v	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
4		evl1vard.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		evl1vard.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	vr1cl 22109	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝑈)
7	1, 2, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
8		evl1var.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
9		evl1var.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10	8, 3, 9	evl1var 22230	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
11	1, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
12	11	fveq1d 6863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑋)‘𝑌) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑌))
13		evl1vard.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14		fvresi 7150	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑌) = 𝑌)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑌) = 𝑌)
16	12, 15	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑋)‘𝑌) = 𝑌)
17	7, 16	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑌) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5535   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068  eval₁ce1 22208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-evls 21988  df-evl 21989  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-evl1 22210

This theorem is referenced by:  evl1varpwval  22256  ply1remlem  26077  fta1blem  26083  idomrootle  26085  plypf1  26124  lgsqrlem1  27264  aks6d1c1p2  42104  aks6d1c1p3  42105  aks6d1c1p7  42108  aks6d1c2lem4  42122  aks6d1c5lem1  42131  aks6d1c5lem2  42133  aks5lem2  42182  aks5lem3a  42184  lineval  48387