MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvid 25234
Description: Derivative of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvid (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})

Proof of Theorem dvid
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6819 . . . 4 ( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ
2 f1of 6781 . . . 4 (( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
31, 2mp1i 13 . . 3 (⊤ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
4 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ ℂ)
5 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
64, 5subcld 11470 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥) → (𝑧𝑥) ∈ ℂ)
7 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
84, 5, 7subne0d 11479 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥) → (𝑧𝑥) ≠ 0)
9 fvresi 7115 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑧) = 𝑧)
10 fvresi 7115 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = 𝑥)
119, 10oveqan12rd 7371 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧𝑥))
12113adant3 1132 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧𝑥))
136, 8, 12diveq1bd 11937 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 1)
1413adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 1)
15 ax-1cn 11067 . . 3 1 ∈ ℂ
163, 14, 15dvidlem 25231 . 2 (⊤ → (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1}))
1716mptru 1548 1 (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2941  {csn 4584   I cid 5528   × cxp 5629  cres 5633  wf 6489  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  1c1 11010  cmin 11343   / cdiv 11770   D cdv 25179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-icc 13225  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-rest 17264  df-topn 17265  df-topgen 17285  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-perf 22440  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-haus 22618  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-xms 23625  df-ms 23626  df-cncf 24193  df-limc 25182  df-dv 25183
This theorem is referenced by:  dvexp  25269  dvmptid  25273  dvsid  42522
  Copyright terms: Public domain W3C validator