Theorem dvid 26056

Description: Derivative of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvid	⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})

Proof of Theorem dvid

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6859	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ
2		f1of 6820	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
3	1, 2	mp1i 14	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
4		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ ℂ)
5		simp1 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11568	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
7		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ≠ 𝑥)
8	4, 5, 7	subne0d 11577	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ≠ 0)
9		fvresi 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑧) = 𝑧)
10		fvresi 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = 𝑥)
11	9, 10	oveqan12rd 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
12	11	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
13	6, 8, 12	diveq1bd 12038	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
14	13	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
15		ax-1cn 11157	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	3, 14, 15	dvidlem 26053	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1}))
17	16	mptru 1575	1 ⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})

Syntax hints:   ∧ w3a 1101   = wceq 1568  ⊤wtru 1569   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {csn 4588   I cid 5555   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  1c1 11100   − cmin 11440   / cdiv 11870   D cdv 26001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-icc 13378  df-fz 13535  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-rest 17474  df-topn 17475  df-topgen 17495  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005

This theorem is referenced by:  dvexp  26091  dvmptid  26095  dvsid  44989