Theorem dvid 24631

Description: Derivative of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvid	⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})

Proof of Theorem dvid

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6644	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ
2		f1of 6607	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
4		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ ℂ)
5		simp1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11048	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
7		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ≠ 𝑥)
8	4, 5, 7	subne0d 11057	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ≠ 0)
9		fvresi 6932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑧) = 𝑧)
10		fvresi 6932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = 𝑥)
11	9, 10	oveqan12rd 7176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
12	11	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
13	6, 8, 12	diveq1bd 11515	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
14	13	adantl 485	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
15		ax-1cn 10646	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	3, 14, 15	dvidlem 24628	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1}))
17	16	mptru 1545	1 ⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})

Syntax hints:   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {csn 4525   I cid 5433   × cxp 5526   ↾ cres 5530  ⟶wf 6336  –1-1-onto→wf1o 6339  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  1c1 10589   − cmin 10921   / cdiv 11348   D cdv 24576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-icc 12799  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-rest 16768  df-topn 16769  df-topgen 16789  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-fbas 20177  df-fg 20178  df-cnfld 20181  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-cld 21733  df-ntr 21734  df-cls 21735  df-nei 21812  df-lp 21850  df-perf 21851  df-cn 21941  df-cnp 21942  df-haus 22029  df-fil 22560  df-fm 22652  df-flim 22653  df-flf 22654  df-xms 23036  df-ms 23037  df-cncf 23593  df-limc 24579  df-dv 24580

This theorem is referenced by:  dvexp  24666  dvmptid  24670  dvsid  41453