Theorem hlipdir 28784

Description: Distributive law for Hilbert space inner product. (Contributed by NM, 8-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlipdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlipdir.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
hlipdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlipdir	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem hlipdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlph 28761	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		hlipdir.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hlipdir.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		hlipdir.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	2, 3, 4	dipdir 28714	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))
6	1, 5	sylan 584	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148   + caddc 10568   +_𝑣 cpv 28457  BaseSetcba 28458  ·_𝑖OLDcdip 28572  CPreHil_OLDccphlo 28684  CHil_OLDchlo 28757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-inf2 9127  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642  ax-pre-sup 10643  ax-addf 10644  ax-mulf 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-oadd 8114  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-sup 8929  df-oi 8997  df-card 9391  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-div 11326  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-4 11729  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-rp 12421  df-fz 12930  df-fzo 13073  df-seq 13409  df-exp 13470  df-hash 13731  df-cj 14496  df-re 14497  df-im 14498  df-sqrt 14632  df-abs 14633  df-clim 14883  df-sum 15081  df-grpo 28365  df-gid 28366  df-ginv 28367  df-ablo 28417  df-vc 28431  df-nv 28464  df-va 28467  df-ba 28468  df-sm 28469  df-0v 28470  df-nmcv 28472  df-dip 28573  df-ph 28685  df-hlo 28758

This theorem is referenced by:  axhis2-zf  28867