Theorem dipdir 29105

Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipdir.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipdir	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipdir.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
3	1, 2	syl5eq 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
4	3	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
5	3	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
6	3	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐶 ∈ 𝑋 ↔ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
7	4, 5, 6	3anbi123d 1434	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
8		dipdir.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
9		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
10	8, 9	syl5eq 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐺 = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
11	10	oveqd 7272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴𝐺𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵))
12	11	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)𝑃𝐶))
13		dipdir.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
14		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (·𝑖OLD‘𝑈) = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
15	13, 14	syl5eq 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑃 = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
16	15	oveqd 7272	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
17	12, 16	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
18	15	oveqd 7272	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴𝑃𝐶) = (𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
19	15	oveqd 7272	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐵𝑃𝐶) = (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
20	18, 19	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))
21	17, 20	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) ↔ ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))))
22	7, 21	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))) ↔ ((𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))))
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
24		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
26		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
27		elimphu 29084	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CPreHilOLD
28	23, 24, 25, 26, 27	ipdiri 29093	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))
29	22, 28	dedth 4514	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))))
30	29	imp 406	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   + caddc 10805   · cmul 10807  abscabs 14873   +_𝑣 cpv 28848  BaseSetcba 28849   ·_𝑠OLD cns 28850  ·_𝑖OLDcdip 28963  CPreHil_OLDccphlo 29075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-nmcv 28863  df-dip 28964  df-ph 29076

This theorem is referenced by:  dipdi  29106  ip2dii  29107  dipsubdir  29111  ipblnfi  29118  hlipdir  29175