MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dipdir 30095
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipdir.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dipdir.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
dipdir.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dipdir ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)))
Proof of Theorem dipdir
StepHypRef Expression
1 dipdir.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
31, 2eqtrid 2785 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑋 = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
43eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))))
53eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 ↔ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))))
63eleq2d 2820 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ↔ 𝐢 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))))
74, 5, 63anbi123d 1437 . . . 4 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐢 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))))
8 dipdir.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
9 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
108, 9eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝐺 = ( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
1110oveqd 7426 . . . . . . 7 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝐴𝐺𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐡))
1211oveq1d 7424 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐡)𝑃𝐢))
13 dipdir.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
14 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) = (·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
1513, 14eqtrid 2785 . . . . . . 7 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)))
1615oveqd 7426 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝐴( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐡)(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢))
1712, 16eqtrd 2773 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐡)(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢))
1815oveqd 7426 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝐴𝑃𝐢) = (𝐴(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢))
1915oveqd 7426 . . . . . 6 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (𝐡𝑃𝐢) = (𝐡(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢))
2018, 19oveq12d 7427 . . . . 5 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) = ((𝐴(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢) + (𝐡(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢)))
2117, 20eqeq12d 2749 . . . 4 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)) ↔ ((𝐴( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐡)(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢) = ((𝐴(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢) + (𝐡(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢))))
227, 21imbi12d 345 . . 3 (π‘ˆ = if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) β†’ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢))) ↔ ((𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐢 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))) β†’ ((𝐴( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐡)(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢) = ((𝐴(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢) + (𝐡(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢)))))
23 eqid 2733 . . . 4 (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
24 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = ( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
25 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = ( ·𝑠OLD β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
26 eqid 2733 . . . 4 (·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) = (·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))
27 elimphu 30074 . . . 4 if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩) ∈ CPreHilOLD
2823, 24, 25, 26, 27ipdiri 30083 . . 3 ((𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐢 ∈ (BaseSetβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))) β†’ ((𝐴( +𝑣 β€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐡)(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢) = ((𝐴(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢) + (𝐡(·𝑖OLDβ€˜if(π‘ˆ ∈ CPreHilOLD, π‘ˆ, ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩))𝐢)))
2922, 28dedth 4587 . 2 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢))))
3029imp 408 1 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529  βŸ¨cop 4635  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   + caddc 11113   Β· cmul 11115  abscabs 15181   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  Β·π‘–OLDcdip 29953  CPreHilOLDccphlo 30065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-dip 29954  df-ph 30066
This theorem is referenced by:  dipdi  30096  ip2dii  30097  dipsubdir  30101  ipblnfi  30108  hlipdir  30165
  Copyright terms: Public domain W3C validator