Theorem dipdir 30771

Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipdir.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipdir	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipdir.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
3	1, 2	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
4	3	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
5	3	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
6	3	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐶 ∈ 𝑋 ↔ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
7	4, 5, 6	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
8		dipdir.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
9		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
10	8, 9	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐺 = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
11	10	oveqd 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴𝐺𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵))
12	11	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)𝑃𝐶))
13		dipdir.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
14		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (·𝑖OLD‘𝑈) = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
15	13, 14	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑃 = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
16	15	oveqd 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
17	12, 16	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
18	15	oveqd 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴𝑃𝐶) = (𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
19	15	oveqd 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐵𝑃𝐶) = (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
20	18, 19	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))
21	17, 20	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) ↔ ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))))
22	7, 21	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))) ↔ ((𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))))
23		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
24		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
25		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
26		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
27		elimphu 30750	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CPreHilOLD
28	23, 24, 25, 26, 27	ipdiri 30759	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))
29	22, 28	dedth 4547	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))))
30	29	imp 406	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4488  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   + caddc 11071   · cmul 11073  abscabs 15200   +_𝑣 cpv 30514  BaseSetcba 30515   ·_𝑠OLD cns 30516  ·_𝑖OLDcdip 30629  CPreHil_OLDccphlo 30741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-nmcv 30529  df-dip 30630  df-ph 30742

This theorem is referenced by:  dipdi  30772  ip2dii  30773  dipsubdir  30777  ipblnfi  30784  hlipdir  30841