Theorem dipdir 30789

Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipdir.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipdir	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipdir.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		fveq2 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
3	1, 2	eqtrid 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
4	3	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
5	3	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
6	3	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐶 ∈ 𝑋 ↔ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
7	4, 5, 6	3anbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
8		dipdir.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
9		fveq2 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
10	8, 9	eqtrid 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐺 = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
11	10	oveqd 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴𝐺𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵))
12	11	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)𝑃𝐶))
13		dipdir.7	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
14		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (·𝑖OLD‘𝑈) = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
15	13, 14	eqtrid 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑃 = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
16	15	oveqd 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
17	12, 16	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
18	15	oveqd 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴𝑃𝐶) = (𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
19	15	oveqd 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐵𝑃𝐶) = (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
20	18, 19	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))
21	17, 20	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) ↔ ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))))
22	7, 21	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))) ↔ ((𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))))
23		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
24		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
25		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
26		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
27		elimphu 30768	. . . 4 ⊢ if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CPreHilOLD
28	23, 24, 25, 26, 27	ipdiri 30777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))
29	22, 28	dedth 4564	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))))
30	29	imp 406	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ifcif 4505  ⟨cop 4612  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   + caddc 11140   · cmul 11142  abscabs 15255   +_𝑣 cpv 30532  BaseSetcba 30533   ·_𝑠OLD cns 30534  ·_𝑖OLDcdip 30647  CPreHil_OLDccphlo 30759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216  ax-mulf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-clim 15506  df-sum 15705  df-grpo 30440  df-gid 30441  df-ginv 30442  df-ablo 30492  df-vc 30506  df-nv 30539  df-va 30542  df-ba 30543  df-sm 30544  df-0v 30545  df-nmcv 30547  df-dip 30648  df-ph 30760

This theorem is referenced by:  dipdi  30790  ip2dii  30791  dipsubdir  30795  ipblnfi  30802  hlipdir  30859