MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipdir 30871
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipdir.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipdir.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
dipdir.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipdir ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipdir
StepHypRef Expression
1 dipdir.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
31, 2eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑋 = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
43eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴𝑋𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
53eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐵𝑋𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
63eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐶𝑋𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
74, 5, 63anbi123d 1435 . . . 4 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ↔ (𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
8 dipdir.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
9 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
108, 9eqtrid 2787 . . . . . . . 8 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐺 = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
1110oveqd 7448 . . . . . . 7 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴𝐺𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵))
1211oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)𝑃𝐶))
13 dipdir.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
14 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (·𝑖OLD𝑈) = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
1513, 14eqtrid 2787 . . . . . . 7 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑃 = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
1615oveqd 7448 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
1712, 16eqtrd 2775 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
1815oveqd 7448 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐴𝑃𝐶) = (𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
1915oveqd 7448 . . . . . 6 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐵𝑃𝐶) = (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))
2018, 19oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))
2117, 20eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)) ↔ ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶))))
227, 21imbi12d 344 . . 3 (𝑈 = if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))) ↔ ((𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))))
23 eqid 2735 . . . 4 (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
24 eqid 2735 . . . 4 ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
25 eqid 2735 . . . 4 ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
26 eqid 2735 . . . 4 (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
27 elimphu 30850 . . . 4 if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ CPreHilOLD
2823, 24, 25, 26, 27ipdiri 30859 . . 3 ((𝐴 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∧ 𝐶 ∈ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) → ((𝐴( +𝑣 ‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐵)(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) = ((𝐴(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶) + (𝐵(·𝑖OLD‘if(𝑈 ∈ CPreHilOLD, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))𝐶)))
2922, 28dedth 4589 . 2 (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))))
3029imp 406 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431   + caddc 11156   · cmul 11158  abscabs 15270   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616  ·𝑖OLDcdip 30729  CPreHilOLDccphlo 30841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-dip 30730  df-ph 30842
This theorem is referenced by:  dipdi  30872  ip2dii  30873  dipsubdir  30877  ipblnfi  30884  hlipdir  30941
  Copyright terms: Public domain W3C validator