HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhis2-zf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem axhis2-zf 30821
Description: Derive Axiom ax-his2 30909 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
axhil.2 π‘ˆ ∈ CHilOLD
axhfi.1 Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
axhis2-zf ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 +β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐢) = ((𝐴 Β·ih 𝐢) + (𝐡 Β·ih 𝐢)))
Proof of Theorem axhis2-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2 π‘ˆ ∈ CHilOLD
2 df-hba 30795 . . . 4 β„‹ = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3 axhil.1 . . . . 5 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
43fveq2i 6893 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
52, 4eqtr4i 2756 . . 3 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
61hlnvi 30718 . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
73, 6h2hva 30800 . . 3 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
8 axhfi.1 . . 3 Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
95, 7, 8hlipdir 30738 . 2 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹)) β†’ ((𝐴 +β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐢) = ((𝐴 Β·ih 𝐢) + (𝐡 Β·ih 𝐢)))
101, 9mpan 688 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 +β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐢) = ((𝐴 Β·ih 𝐢) + (𝐡 Β·ih 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4628  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   + caddc 11139  BaseSetcba 30412  Β·π‘–OLDcdip 30526  CHilOLDchlo 30711   β„‹chba 30745   +β„Ž cva 30746   Β·β„Ž csm 30747   Β·ih csp 30748  normβ„Žcno 30749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-grpo 30319  df-gid 30320  df-ginv 30321  df-ablo 30371  df-vc 30385  df-nv 30418  df-va 30421  df-ba 30422  df-sm 30423  df-0v 30424  df-nmcv 30426  df-dip 30527  df-ph 30639  df-cbn 30689  df-hlo 30712  df-hba 30795
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator