Theorem dgraaub 44353

Description: Upper bound on degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dgraaub	⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))

Proof of Theorem dgraaub

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝))
3	2	biranri 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
4		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (𝑃‘𝐴) = 0)
5		fveq1 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑃 → (𝑎‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))
6	5	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑃 → ((𝑎‘𝐴) = 0 ↔ (𝑃‘𝐴) = 0))
7	6	rspcev 3580	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0)
8	3, 4, 7	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0)
9		elqaa 26678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0))
10	1, 8, 9	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
11		dgraaval 44349	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
13		ssrab2 4008	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
14		nnuz 13034	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	13, 14	sseqtri 3961	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1)
16		dgrnznn 26599	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
18	4, 17	jctil 529	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0))
19		fveqeq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ↔ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)))
20		fveq1 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → (𝑏‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))
21	20	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → ((𝑏‘𝐴) = 0 ↔ (𝑃‘𝐴) = 0))
22	19, 21	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → (((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)))
23	22	rspcev 3580	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
24	3, 18, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
25		eqeq2 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → ((deg‘𝑏) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑃)))
26	25	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → (((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
27	26	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
28	27	elrab 3648	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
29	16, 24, 28	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)})
30		infssuzle 13088	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
31	15, 29, 30	sylancr 599	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
32	12, 31	eqbrtrd 5131	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  infcinf 9463  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   < clt 11373   ≤ cle 11374  ℕcn 12365  ℤ_≥cuz 12995  ℚcq 13105  0_𝑝c0p 26023  Polycply 26535  degcdgr 26538  𝔸caa 26670  deg_AAcdgraa 44345

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-0p 26024  df-ply 26539  df-coe 26541  df-dgr 26542  df-aa 26671  df-dgraa 44347

This theorem is used by:  dgraa0p  44354