Theorem dgraaub 42575

Description: Upper bound on degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dgraaub	⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))

Proof of Theorem dgraaub

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 769	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eldifsn 4793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝))
3	2	biimpri 227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
4	3	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
5		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (𝑃‘𝐴) = 0)
6		fveq1 6899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑃 → (𝑎‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))
7	6	eqeq1d 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑃 → ((𝑎‘𝐴) = 0 ↔ (𝑃‘𝐴) = 0))
8	7	rspcev 3609	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0)
9	4, 5, 8	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0)
10		elqaa 26275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0))
11	1, 9, 10	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
12		dgraaval 42571	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
14		ssrab2 4075	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
15		nnuz 12901	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	sseqtri 4016	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1)
17		dgrnznn 26199	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
18		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
19	5, 18	jctil 518	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0))
20		fveqeq2 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ↔ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)))
21		fveq1 6899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → (𝑏‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))
22	21	eqeq1d 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → ((𝑏‘𝐴) = 0 ↔ (𝑃‘𝐴) = 0))
23	20, 22	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → (((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)))
24	23	rspcev 3609	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
25	4, 19, 24	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
26		eqeq2 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → ((deg‘𝑏) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑃)))
27	26	anbi1d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → (((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
28	27	rexbidv 3174	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
29	28	elrab 3682	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
30	17, 25, 29	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)})
31		infssuzle 12951	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
32	16, 30, 31	sylancr 585	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
33	13, 32	eqbrtrd 5172	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ∃wrex 3066  {crab 3428   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4630   class class class wbr 5150  ‘cfv 6551  infcinf 9470  ℂcc 11142  ℝcr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   < clt 11284   ≤ cle 11285  ℕcn 12248  ℤ_≥cuz 12858  ℚcq 12968  0_𝑝c0p 25616  Polycply 26136  degcdgr 26139  𝔸caa 26267  deg_AAcdgraa 42567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-0p 25617  df-ply 26140  df-coe 26142  df-dgr 26143  df-aa 26268  df-dgraa 42569

This theorem is referenced by:  dgraa0p  42576