Theorem dgraaub 40092

Description: Upper bound on degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dgraaub	⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))

Proof of Theorem dgraaub

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eldifsn 4680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝))
3	2	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
5		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (𝑃‘𝐴) = 0)
6		fveq1 6644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑃 → (𝑎‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))
7	6	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑃 → ((𝑎‘𝐴) = 0 ↔ (𝑃‘𝐴) = 0))
8	7	rspcev 3571	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0)
9	4, 5, 8	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0)
10		elqaa 24918	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0))
11	1, 9, 10	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
12		dgraaval 40088	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
14		ssrab2 4007	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
15		nnuz 12269	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	sseqtri 3951	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1)
17		dgrnznn 24844	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
18		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
19	5, 18	jctil 523	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0))
20		fveqeq2 6654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ↔ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)))
21		fveq1 6644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → (𝑏‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))
22	21	eqeq1d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → ((𝑏‘𝐴) = 0 ↔ (𝑃‘𝐴) = 0))
23	20, 22	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → (((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)))
24	23	rspcev 3571	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
25	4, 19, 24	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
26		eqeq2 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → ((deg‘𝑏) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑃)))
27	26	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → (((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
28	27	rexbidv 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
29	28	elrab 3628	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
30	17, 25, 29	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)})
31		infssuzle 12319	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
32	16, 30, 31	sylancr 590	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
33	13, 32	eqbrtrd 5052	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  infcinf 8889  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  ℤ_≥cuz 12231  ℚcq 12336  0_𝑝c0p 24273  Polycply 24781  degcdgr 24784  𝔸caa 24910  deg_AAcdgraa 40084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-0p 24274  df-ply 24785  df-coe 24787  df-dgr 24788  df-aa 24911  df-dgraa 40086

This theorem is referenced by:  dgraa0p  40093