Theorem dgraaub 42450

Description: Upper bound on degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dgraaub	⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))

Proof of Theorem dgraaub

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eldifsn 4785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝))
3	2	biimpri 227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
5		simprr 770	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (𝑃‘𝐴) = 0)
6		fveq1 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑃 → (𝑎‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))
7	6	eqeq1d 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑃 → ((𝑎‘𝐴) = 0 ↔ (𝑃‘𝐴) = 0))
8	7	rspcev 3606	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0)
9	4, 5, 8	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0)
10		elqaa 26207	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0))
11	1, 9, 10	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
12		dgraaval 42446	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
14		ssrab2 4072	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
15		nnuz 12866	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	sseqtri 4013	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1)
17		dgrnznn 26131	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
18		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
19	5, 18	jctil 519	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0))
20		fveqeq2 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ↔ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)))
21		fveq1 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → (𝑏‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))
22	21	eqeq1d 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → ((𝑏‘𝐴) = 0 ↔ (𝑃‘𝐴) = 0))
23	20, 22	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑃 → (((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)))
24	23	rspcev 3606	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
25	4, 19, 24	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
26		eqeq2 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → ((deg‘𝑏) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑃)))
27	26	anbi1d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → (((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
28	27	rexbidv 3172	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑃) → (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
29	28	elrab 3678	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
30	17, 25, 29	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)})
31		infssuzle 12916	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
32	16, 30, 31	sylancr 586	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
33	13, 32	eqbrtrd 5163	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∃wrex 3064  {crab 3426   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  infcinf 9435  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℕcn 12213  ℤ_≥cuz 12823  ℚcq 12933  0_𝑝c0p 25548  Polycply 26068  degcdgr 26071  𝔸caa 26199  deg_AAcdgraa 42442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-0p 25549  df-ply 26072  df-coe 26074  df-dgr 26075  df-aa 26200  df-dgraa 42444

This theorem is referenced by:  dgraa0p  42451