Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraaub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraaub 42603
Description: Upper bound on degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
dgraaub (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degAAβ€˜π΄) ≀ (degβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem dgraaub
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . . 4 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2 eldifsn 4795 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ↔ (𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝))
32biimpri 227 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ 𝑃 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
43adantr 479 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ 𝑃 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
5 simprr 771 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)
6 fveq1 6901 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑃 β†’ (π‘Žβ€˜π΄) = (π‘ƒβ€˜π΄))
76eqeq1d 2730 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑃 β†’ ((π‘Žβ€˜π΄) = 0 ↔ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0))
87rspcev 3611 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘Žβ€˜π΄) = 0)
94, 5, 8syl2anc 582 . . . 4 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘Žβ€˜π΄) = 0)
10 elqaa 26277 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘Žβ€˜π΄) = 0))
111, 9, 10sylanbrc 581 . . 3 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ 𝐴 ∈ 𝔸)
12 dgraaval 42599 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ (degAAβ€˜π΄) = inf({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)}, ℝ, < ))
1311, 12syl 17 . 2 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degAAβ€˜π΄) = inf({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)}, ℝ, < ))
14 ssrab2 4077 . . . 4 {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} βŠ† β„•
15 nnuz 12903 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1614, 15sseqtri 4018 . . 3 {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
17 dgrnznn 26201 . . . 4 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•)
18 eqid 2728 . . . . . 6 (degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜π‘ƒ)
195, 18jctil 518 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ ((degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0))
20 fveqeq2 6911 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑃 β†’ ((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘ƒ) ↔ (degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜π‘ƒ)))
21 fveq1 6901 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜π΄) = (π‘ƒβ€˜π΄))
2221eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜π΄) = 0 ↔ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0))
2320, 22anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑃 β†’ (((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ↔ ((degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)))
2423rspcev 3611 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ ((degβ€˜π‘ƒ) = (degβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0))
254, 19, 24syl2anc 582 . . . 4 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0))
26 eqeq2 2740 . . . . . . 7 (π‘Ž = (degβ€˜π‘ƒ) β†’ ((degβ€˜π‘) = π‘Ž ↔ (degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘ƒ)))
2726anbi1d 629 . . . . . 6 (π‘Ž = (degβ€˜π‘ƒ) β†’ (((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ↔ ((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
2827rexbidv 3176 . . . . 5 (π‘Ž = (degβ€˜π‘ƒ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
2928elrab 3684 . . . 4 ((degβ€˜π‘ƒ) ∈ {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} ↔ ((degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
3017, 25, 29sylanbrc 581 . . 3 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)})
31 infssuzle 12953 . . 3 (({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)}) β†’ inf({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)}, ℝ, < ) ≀ (degβ€˜π‘ƒ))
3216, 30, 31sylancr 585 . 2 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ inf({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)}, ℝ, < ) ≀ (degβ€˜π‘ƒ))
3313, 32eqbrtrd 5174 1 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degAAβ€˜π΄) ≀ (degβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067  {crab 3430   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  infcinf 9472  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   < clt 11286   ≀ cle 11287  β„•cn 12250  β„€β‰₯cuz 12860  β„šcq 12970  0𝑝c0p 25618  Polycply 26138  degcdgr 26141  π”Έcaa 26269  degAAcdgraa 42595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-0p 25619  df-ply 26142  df-coe 26144  df-dgr 26145  df-aa 26270  df-dgraa 42597
This theorem is referenced by:  dgraa0p  42604
  Copyright terms: Public domain W3C validator