Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraaub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraaub 40973
Description: Upper bound on degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
dgraaub (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))

Proof of Theorem dgraaub
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 768 . . . 4 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 eldifsn 4720 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝))
32biimpri 227 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
43adantr 481 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
5 simprr 770 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (𝑃𝐴) = 0)
6 fveq1 6773 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑃 → (𝑎𝐴) = (𝑃𝐴))
76eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑃 → ((𝑎𝐴) = 0 ↔ (𝑃𝐴) = 0))
87rspcev 3561 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑃𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0)
94, 5, 8syl2anc 584 . . . 4 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0)
10 elqaa 25482 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0))
111, 9, 10sylanbrc 583 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
12 dgraaval 40969 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
1311, 12syl 17 . 2 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (degAA𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
14 ssrab2 4013 . . . 4 {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
15 nnuz 12621 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15sseqtri 3957 . . 3 {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ‘1)
17 dgrnznn 25408 . . . 4 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
18 eqid 2738 . . . . . 6 (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
195, 18jctil 520 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃𝐴) = 0))
20 fveqeq2 6783 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑃 → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ↔ (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)))
21 fveq1 6773 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑃 → (𝑏𝐴) = (𝑃𝐴))
2221eqeq1d 2740 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑃 → ((𝑏𝐴) = 0 ↔ (𝑃𝐴) = 0))
2320, 22anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑃 → (((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃𝐴) = 0)))
2423rspcev 3561 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑃) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏𝐴) = 0))
254, 19, 24syl2anc 584 . . . 4 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏𝐴) = 0))
26 eqeq2 2750 . . . . . . 7 (𝑎 = (deg‘𝑃) → ((deg‘𝑏) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑃)))
2726anbi1d 630 . . . . . 6 (𝑎 = (deg‘𝑃) → (((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏𝐴) = 0)))
2827rexbidv 3226 . . . . 5 (𝑎 = (deg‘𝑃) → (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏𝐴) = 0)))
2928elrab 3624 . . . 4 ((deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)} ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = (deg‘𝑃) ∧ (𝑏𝐴) = 0)))
3017, 25, 29sylanbrc 583 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)})
31 infssuzle 12671 . . 3 (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ (deg‘𝑃) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)}) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
3216, 30, 31sylancr 587 . 2 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑏) = 𝑎 ∧ (𝑏𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ≤ (deg‘𝑃))
3313, 32eqbrtrd 5096 1 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  {crab 3068  cdif 3884  wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074  cfv 6433  infcinf 9200  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  cle 11010  cn 11973  cuz 12582  cq 12688  0𝑝c0p 24833  Polycply 25345  degcdgr 25348  𝔸caa 25474  degAAcdgraa 40965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-coe 25351  df-dgr 25352  df-aa 25475  df-dgraa 40967
This theorem is referenced by:  dgraa0p  40974
  Copyright terms: Public domain W3C validator