Theorem ig1pmindeg 33204

Description: The polynomial ideal generator is of minimum degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pirred.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pirred.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pirred.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ig1pirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ig1pirred.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
ig1pmindeg.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
ig1pmindeg.o	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1pmindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
ig1pmindeg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ig1pmindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem ig1pmindeg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pmindeg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐼 = { 0 })
4	2, 3	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ { 0 })
5		elsni 4641	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ { 0 } → 𝐹 = 0 )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 = 0 )
7		ig1pmindeg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
9	6, 8	pm2.21ddne 3021	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
10		ig1pirred.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ DivRing)
12		ig1pirred.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
15		ig1pirred.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		ig1pirred.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
17		ig1pmindeg.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
18		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
19		ig1pmindeg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
20		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
21	15, 16, 17, 18, 19, 20	ig1pval3 26099	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
22	11, 13, 14, 21	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
23	22	simp3d 1142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
24		nfv 1910	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 })
25		ig1pirred.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	19, 15, 25	deg1xrf 26004	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝑈⟶ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷:𝑈⟶ℝ*)
28	27	ffund 6720	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → Fun 𝐷)
29	11	drngringd 20621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
31	25, 18	lidlss 21097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
32	13, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
33	32	ssdifssd 4138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
34	33	sselda 3978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝑈)
35		eldifsni 4789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
36	35	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
37	19, 15, 17, 25	deg1nn0cl 26011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
38	30, 34, 36, 37	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
39		nn0uz 12886	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40	38, 39	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘0))
41	24, 28, 40	funimassd 6959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
42	27	ffnd 6717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn 𝑈)
43	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
44	32, 43	sseldd 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝑈)
45	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
46		nelsn 4664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ≠ 0 → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
48	43, 47	eldifd 3955	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
49	42, 44, 48	fnfvimad 7240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
50		infssuzle 12937	. . . 4 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
51	41, 49, 50	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
52	23, 51	eqbrtrd 5164	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
53	9, 52	pm2.61dane 3024	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142   “ cima 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  infcinf 9456  ℝcr 11129  0cc0 11130  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℕ₀cn0 12494  ℤ_≥cuz 12844  Basecbs 17171  0_gc0g 17412  Ringcrg 20164  DivRingcdr 20613  LIdealclidl 21091  Poly₁cpl1 22083   deg₁ cdg1 25974  Monic_1pcmn1 26048  idlGen_1pcig1p 26052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rlreg 21219  df-cnfld 21267  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-coe1 22089  df-mdeg 25975  df-deg1 25976  df-mon1 26053  df-uc1p 26054  df-ig1p 26057

This theorem is referenced by:  minplyirredlem  33316  irredminply  33320