Theorem ig1pmindeg 33567

Description: The polynomial ideal generator is of minimum degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pirred.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pirred.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pirred.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ig1pirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ig1pirred.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
ig1pmindeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ig1pmindeg.o	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1pmindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
ig1pmindeg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ig1pmindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem ig1pmindeg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pmindeg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐼 = { 0 })
4	2, 3	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ { 0 })
5		elsni 4606	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ { 0 } → 𝐹 = 0 )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 = 0 )
7		ig1pmindeg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
9	6, 8	pm2.21ddne 3009	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
10		ig1pirred.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ DivRing)
12		ig1pirred.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
15		ig1pirred.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		ig1pirred.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
17		ig1pmindeg.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
18		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
19		ig1pmindeg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
21	15, 16, 17, 18, 19, 20	ig1pval3 26083	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
22	11, 13, 14, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
23	22	simp3d 1144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
24		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 })
25		ig1pirred.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	19, 15, 25	deg1xrf 25986	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝑈⟶ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷:𝑈⟶ℝ*)
28	27	ffund 6692	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → Fun 𝐷)
29	11	drngringd 20646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
31	25, 18	lidlss 21122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
32	13, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
33	32	ssdifssd 4110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
34	33	sselda 3946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝑈)
35		eldifsni 4754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
36	35	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
37	19, 15, 17, 25	deg1nn0cl 25993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
38	30, 34, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
39		nn0uz 12835	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40	38, 39	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘0))
41	24, 28, 40	funimassd 6927	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
42	27	ffnd 6689	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn 𝑈)
43	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
44	32, 43	sseldd 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝑈)
45	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
46		nelsn 4630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ≠ 0 → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
48	43, 47	eldifd 3925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
49	42, 44, 48	fnfvimad 7208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
50		infssuzle 12890	. . . 4 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
51	41, 49, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
52	23, 51	eqbrtrd 5129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
53	9, 52	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  infcinf 9392  ℝcr 11067  0cc0 11068  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕ₀cn0 12442  ℤ_≥cuz 12793  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Ringcrg 20142  DivRingcdr 20638  LIdealclidl 21116  Poly₁cpl1 22061  deg₁cdg1 25959  Monic_1pcmn1 26031  idlGen_1pcig1p 26035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-cnfld 21265  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-mon1 26036  df-uc1p 26037  df-ig1p 26040

This theorem is referenced by:  minplymindeg  33698  minplyirredlem  33700  irredminply  33706