Theorem ig1pmindeg 33837

Description: The polynomial ideal generator is of minimum degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pirred.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pirred.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pirred.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ig1pirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ig1pirred.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
ig1pmindeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ig1pmindeg.o	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1pmindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
ig1pmindeg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ig1pmindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem ig1pmindeg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pmindeg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐼 = { 0 })
4	2, 3	eleqtrd 2871	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ { 0 })
5		elsni 4611	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ { 0 } → 𝐹 = 0 )
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 = 0 )
7		ig1pmindeg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
9	6, 8	pm2.21ddne 3048	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
10		ig1pirred.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ DivRing)
12		ig1pirred.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
14		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
15		ig1pirred.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		ig1pirred.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
17		ig1pmindeg.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
18		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
19		ig1pmindeg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
20		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
21	15, 16, 17, 18, 19, 20	ig1pval3 26304	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
22	11, 13, 14, 21	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
23	22	simp3d 1160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
24		nfv 1941	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 })
25		ig1pirred.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	19, 15, 25	deg1xrf 26207	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝑈⟶ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷:𝑈⟶ℝ*)
28	27	ffund 6711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → Fun 𝐷)
29	11	drngringd 20821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
30	29	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
31	25, 18	lidlss 21314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
32	13, 31	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
33	32	ssdifssd 4109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
34	33	sselda 3945	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝑈)
35		eldifsni 4762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
36	35	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
37	19, 15, 17, 25	deg1nn0cl 26214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
38	30, 34, 36, 37	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
39		nn0uz 12900	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40	38, 39	eleqtrdi 2879	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘0))
41	24, 28, 40	funimassd 6948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
42	27	ffnd 6707	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn 𝑈)
43	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
44	32, 43	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝑈)
45	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
46		nelsn 4637	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ≠ 0 → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
47	45, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
48	43, 47	eldifd 3924	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
49	42, 44, 48	fnfvimad 7233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
50		infssuzle 12955	. . . 4 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
51	41, 49, 50	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
52	23, 51	eqbrtrd 5137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
53	9, 52	pm2.61dane 3051	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113   “ cima 5665  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  infcinf 9401  ℝcr 11099  0cc0 11100  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℕ₀cn0 12504  ℤ_≥cuz 12862  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  Ringcrg 20315  DivRingcdr 20813  LIdealclidl 21308  Poly₁cpl1 22306  deg₁cdg1 26180  Monic_1pcmn1 26252  idlGen_1pcig1p 26256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-rlreg 20779  df-drng 20815  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-cnfld 21492  df-ascl 21974  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-mdeg 26181  df-deg1 26182  df-mon1 26257  df-uc1p 26258  df-ig1p 26261

This theorem is referenced by:  minplymindeg  34043  minplyirredlem  34045  irredminply  34051