Theorem ig1pmindeg 33680

Description: The polynomial ideal generator is of minimum degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pirred.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pirred.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pirred.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ig1pirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ig1pirred.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
ig1pmindeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ig1pmindeg.o	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1pmindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
ig1pmindeg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ig1pmindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem ig1pmindeg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pmindeg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐼 = { 0 })
4	2, 3	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ { 0 })
5		elsni 4585	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ { 0 } → 𝐹 = 0 )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 = 0 )
7		ig1pmindeg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
9	6, 8	pm2.21ddne 3017	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
10		ig1pirred.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ DivRing)
12		ig1pirred.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
15		ig1pirred.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		ig1pirred.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
17		ig1pmindeg.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
19		ig1pmindeg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
21	15, 16, 17, 18, 19, 20	ig1pval3 26156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
22	11, 13, 14, 21	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
23	22	simp3d 1145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
24		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 })
25		ig1pirred.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	19, 15, 25	deg1xrf 26059	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝑈⟶ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷:𝑈⟶ℝ*)
28	27	ffund 6667	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → Fun 𝐷)
29	11	drngringd 20708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
31	25, 18	lidlss 21205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
32	13, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
33	32	ssdifssd 4088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
34	33	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝑈)
35		eldifsni 4734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
36	35	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
37	19, 15, 17, 25	deg1nn0cl 26066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
38	30, 34, 36, 37	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
39		nn0uz 12820	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40	38, 39	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘0))
41	24, 28, 40	funimassd 6901	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
42	27	ffnd 6664	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn 𝑈)
43	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
44	32, 43	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝑈)
45	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
46		nelsn 4611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ≠ 0 → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
48	43, 47	eldifd 3901	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
49	42, 44, 48	fnfvimad 7183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
50		infssuzle 12875	. . . 4 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
51	41, 49, 50	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
52	23, 51	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
53	9, 52	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  infcinf 9348  ℝcr 11031  0cc0 11032  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  ℕ₀cn0 12431  ℤ_≥cuz 12782  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  Ringcrg 20208  DivRingcdr 20700  LIdealclidl 21199  Poly₁cpl1 22153  deg₁cdg1 26032  Monic_1pcmn1 26104  idlGen_1pcig1p 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-rlreg 20665  df-drng 20702  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-cnfld 21348  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-psr1 22156  df-vr1 22157  df-ply1 22158  df-coe1 22159  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-mon1 26109  df-uc1p 26110  df-ig1p 26113

This theorem is referenced by:  minplymindeg  33871  minplyirredlem  33873  irredminply  33879