Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ig1pmindeg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ig1pmindeg 33177
Description: The polynomial ideal generator is of minimum degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pirred.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ig1pirred.g 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
ig1pirred.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ig1pirred.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
ig1pirred.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
ig1pmindeg.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ig1pmindeg.o 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
ig1pmindeg.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
ig1pmindeg.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
ig1pmindeg (πœ‘ β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
Proof of Theorem ig1pmindeg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pmindeg.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
21adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
3 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐼 = { 0 })
42, 3eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ { 0 })
5 elsni 4640 . . . 4 (𝐹 ∈ { 0 } β†’ 𝐹 = 0 )
64, 5syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 = 0 )
7 ig1pmindeg.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
87adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 β‰  0 )
96, 8pm2.21ddne 3020 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
10 ig1pirred.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
1110adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
12 ig1pirred.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
1312adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
14 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 β‰  { 0 })
15 ig1pirred.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
16 ig1pirred.g . . . . . 6 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
17 ig1pmindeg.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
18 eqid 2726 . . . . . 6 (LIdealβ€˜π‘ƒ) = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
19 ig1pmindeg.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
20 eqid 2726 . . . . . 6 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
2115, 16, 17, 18, 19, 20ig1pval3 26067 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2211, 13, 14, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2322simp3d 1141 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))
24 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 })
25 ig1pirred.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2619, 15, 25deg1xrf 25972 . . . . . . 7 𝐷:π‘ˆβŸΆβ„*
2726a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐷:π‘ˆβŸΆβ„*)
2827ffund 6715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ Fun 𝐷)
2911drngringd 20595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3125, 18lidlss 21071 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ) β†’ 𝐼 βŠ† π‘ˆ)
3213, 31syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 βŠ† π‘ˆ)
3332ssdifssd 4137 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (𝐼 βˆ– { 0 }) βŠ† π‘ˆ)
3433sselda 3977 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓 ∈ π‘ˆ)
35 eldifsni 4788 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑓 β‰  0 )
3635adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓 β‰  0 )
3719, 15, 17, 25deg1nn0cl 25979 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑓 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0)
3830, 34, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0)
39 nn0uz 12868 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
4038, 39eleqtrdi 2837 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
4124, 28, 40funimassd 6952 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
4227ffnd 6712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐷 Fn π‘ˆ)
431adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
4432, 43sseldd 3978 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ π‘ˆ)
457adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 β‰  0 )
46 nelsn 4663 . . . . . . 7 (𝐹 β‰  0 β†’ Β¬ 𝐹 ∈ { 0 })
4745, 46syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ Β¬ 𝐹 ∈ { 0 })
4843, 47eldifd 3954 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 }))
4942, 44, 48fnfvimad 7231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })))
50 infssuzle 12919 . . . 4 (((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 }))) β†’ inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) ≀ (π·β€˜πΉ))
5141, 49, 50syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) ≀ (π·β€˜πΉ))
5223, 51eqbrtrd 5163 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
539, 52pm2.61dane 3023 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Ringcrg 20138  DivRingcdr 20587  LIdealclidl 21065  Poly1cpl1 22051   deg1 cdg1 25942  Monic1pcmn1 26016  idlGen1pcig1p 26020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rlreg 21193  df-cnfld 21241  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mdeg 25943  df-deg1 25944  df-mon1 26021  df-uc1p 26022  df-ig1p 26025
This theorem is referenced by:  minplyirredlem  33289  irredminply  33293
  Copyright terms: Public domain W3C validator