Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ig1pmindeg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ig1pmindeg 33329
Description: The polynomial ideal generator is of minimum degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pirred.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ig1pirred.g 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
ig1pirred.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ig1pirred.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
ig1pirred.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
ig1pmindeg.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ig1pmindeg.o 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
ig1pmindeg.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
ig1pmindeg.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
ig1pmindeg (πœ‘ β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
Proof of Theorem ig1pmindeg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pmindeg.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
21adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
3 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐼 = { 0 })
42, 3eleqtrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ { 0 })
5 elsni 4641 . . . 4 (𝐹 ∈ { 0 } β†’ 𝐹 = 0 )
64, 5syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 = 0 )
7 ig1pmindeg.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
87adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 β‰  0 )
96, 8pm2.21ddne 3016 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
10 ig1pirred.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
1110adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
12 ig1pirred.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
1312adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
14 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 β‰  { 0 })
15 ig1pirred.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
16 ig1pirred.g . . . . . 6 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
17 ig1pmindeg.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
18 eqid 2725 . . . . . 6 (LIdealβ€˜π‘ƒ) = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
19 ig1pmindeg.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
20 eqid 2725 . . . . . 6 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
2115, 16, 17, 18, 19, 20ig1pval3 26130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2211, 13, 14, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2322simp3d 1141 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))
24 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 })
25 ig1pirred.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2619, 15, 25deg1xrf 26035 . . . . . . 7 𝐷:π‘ˆβŸΆβ„*
2726a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐷:π‘ˆβŸΆβ„*)
2827ffund 6721 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ Fun 𝐷)
2911drngringd 20636 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3029adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3125, 18lidlss 21112 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ) β†’ 𝐼 βŠ† π‘ˆ)
3213, 31syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 βŠ† π‘ˆ)
3332ssdifssd 4135 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (𝐼 βˆ– { 0 }) βŠ† π‘ˆ)
3433sselda 3972 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓 ∈ π‘ˆ)
35 eldifsni 4789 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑓 β‰  0 )
3635adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓 β‰  0 )
3719, 15, 17, 25deg1nn0cl 26042 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑓 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0)
3830, 34, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0)
39 nn0uz 12894 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
4038, 39eleqtrdi 2835 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
4124, 28, 40funimassd 6960 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
4227ffnd 6718 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐷 Fn π‘ˆ)
431adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
4432, 43sseldd 3973 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ π‘ˆ)
457adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 β‰  0 )
46 nelsn 4664 . . . . . . 7 (𝐹 β‰  0 β†’ Β¬ 𝐹 ∈ { 0 })
4745, 46syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ Β¬ 𝐹 ∈ { 0 })
4843, 47eldifd 3950 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 }))
4942, 44, 48fnfvimad 7242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })))
50 infssuzle 12945 . . . 4 (((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 }))) β†’ inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) ≀ (π·β€˜πΉ))
5141, 49, 50syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) ≀ (π·β€˜πΉ))
5223, 51eqbrtrd 5165 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
539, 52pm2.61dane 3019 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  infcinf 9464  β„cr 11137  0cc0 11138  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  β„•0cn0 12502  β„€β‰₯cuz 12852  Basecbs 17179  0gc0g 17420  Ringcrg 20177  DivRingcdr 20628  LIdealclidl 21106  Poly1cpl1 22104   deg1 cdg1 26005  Monic1pcmn1 26079  idlGen1pcig1p 26083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rlreg 21234  df-cnfld 21284  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-coe1 22110  df-mdeg 26006  df-deg1 26007  df-mon1 26084  df-uc1p 26085  df-ig1p 26088
This theorem is referenced by:  minplyirredlem  33437  irredminply  33441
  Copyright terms: Public domain W3C validator