Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ig1pmindeg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ig1pmindeg 32666
Description: The polynomial ideal generator is of minimum degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pirred.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ig1pirred.g 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
ig1pirred.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ig1pirred.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
ig1pirred.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
ig1pmindeg.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ig1pmindeg.o 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
ig1pmindeg.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
ig1pmindeg.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
ig1pmindeg (πœ‘ β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
Proof of Theorem ig1pmindeg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pmindeg.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
21adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
3 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐼 = { 0 })
42, 3eleqtrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ { 0 })
5 elsni 4645 . . . 4 (𝐹 ∈ { 0 } β†’ 𝐹 = 0 )
64, 5syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 = 0 )
7 ig1pmindeg.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
87adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ 𝐹 β‰  0 )
96, 8pm2.21ddne 3026 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = { 0 }) β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
10 ig1pirred.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
1110adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
12 ig1pirred.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
1312adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
14 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 β‰  { 0 })
15 ig1pirred.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
16 ig1pirred.g . . . . . 6 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
17 ig1pmindeg.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
18 eqid 2732 . . . . . 6 (LIdealβ€˜π‘ƒ) = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
19 ig1pmindeg.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
20 eqid 2732 . . . . . 6 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
2115, 16, 17, 18, 19, 20ig1pval3 25691 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2211, 13, 14, 21syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2322simp3d 1144 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))
24 nfv 1917 . . . . 5 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 })
25 ig1pirred.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2619, 15, 25deg1xrf 25598 . . . . . . 7 𝐷:π‘ˆβŸΆβ„*
2726a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐷:π‘ˆβŸΆβ„*)
2827ffund 6721 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ Fun 𝐷)
2911drngringd 20364 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3029adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3125, 18lidlss 20832 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ) β†’ 𝐼 βŠ† π‘ˆ)
3213, 31syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 βŠ† π‘ˆ)
3332ssdifssd 4142 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (𝐼 βˆ– { 0 }) βŠ† π‘ˆ)
3433sselda 3982 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓 ∈ π‘ˆ)
35 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑓 β‰  0 )
3635adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑓 β‰  0 )
3719, 15, 17, 25deg1nn0cl 25605 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑓 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0)
3830, 34, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ β„•0)
39 nn0uz 12863 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
4038, 39eleqtrdi 2843 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘“) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
4124, 28, 40funimassd 6958 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
4227ffnd 6718 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐷 Fn π‘ˆ)
431adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
4432, 43sseldd 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ π‘ˆ)
457adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 β‰  0 )
46 nelsn 4668 . . . . . . 7 (𝐹 β‰  0 β†’ Β¬ 𝐹 ∈ { 0 })
4745, 46syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ Β¬ 𝐹 ∈ { 0 })
4843, 47eldifd 3959 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐹 ∈ (𝐼 βˆ– { 0 }))
4942, 44, 48fnfvimad 7235 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })))
50 infssuzle 12914 . . . 4 (((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 }))) β†’ inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) ≀ (π·β€˜πΉ))
5141, 49, 50syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) ≀ (π·β€˜πΉ))
5223, 51eqbrtrd 5170 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
539, 52pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) ≀ (π·β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  infcinf 9435  β„cr 11108  0cc0 11109  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•0cn0 12471  β„€β‰₯cuz 12821  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Ringcrg 20055  DivRingcdr 20356  LIdealclidl 20782  Poly1cpl1 21700   deg1 cdg1 25568  Monic1pcmn1 25642  idlGen1pcig1p 25646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rlreg 20898  df-cnfld 20944  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-coe1 21706  df-mdeg 25569  df-deg1 25570  df-mon1 25647  df-uc1p 25648  df-ig1p 25651
This theorem is referenced by:  minplyirredlem  32764
  Copyright terms: Public domain W3C validator