Theorem ig1pmindeg 33535

Description: The polynomial ideal generator is of minimum degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pirred.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pirred.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pirred.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ig1pirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ig1pirred.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
ig1pmindeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ig1pmindeg.o	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1pmindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
ig1pmindeg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ig1pmindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Proof of Theorem ig1pmindeg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pmindeg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐼)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐼 = { 0 })
4	2, 3	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ∈ { 0 })
5		elsni 4594	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ { 0 } → 𝐹 = 0 )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 = 0 )
7		ig1pmindeg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
9	6, 8	pm2.21ddne 3009	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
10		ig1pirred.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ DivRing)
12		ig1pirred.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
15		ig1pirred.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		ig1pirred.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
17		ig1pmindeg.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
18		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
19		ig1pmindeg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
21	15, 16, 17, 18, 19, 20	ig1pval3 26081	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
22	11, 13, 14, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
23	22	simp3d 1144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
24		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 })
25		ig1pirred.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
26	19, 15, 25	deg1xrf 25984	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝑈⟶ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷:𝑈⟶ℝ*)
28	27	ffund 6656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → Fun 𝐷)
29	11	drngringd 20622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
31	25, 18	lidlss 21119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
32	13, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ⊆ 𝑈)
33	32	ssdifssd 4098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
34	33	sselda 3935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝑈)
35		eldifsni 4741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
36	35	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
37	19, 15, 17, 25	deg1nn0cl 25991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
38	30, 34, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ ℕ0)
39		nn0uz 12777	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40	38, 39	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) ∧ 𝑓 ∈ (𝐼 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘0))
41	24, 28, 40	funimassd 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0))
42	27	ffnd 6653	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐷 Fn 𝑈)
43	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝐼)
44	32, 43	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ 𝑈)
45	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ≠ 0 )
46		nelsn 4618	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ≠ 0 → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐹 ∈ { 0 })
48	43, 47	eldifd 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐹 ∈ (𝐼 ∖ { 0 }))
49	42, 44, 48	fnfvimad 7170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })))
50		infssuzle 12832	. . . 4 ⊢ (((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })) ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 }))) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
51	41, 49, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ≤ (𝐷‘𝐹))
52	23, 51	eqbrtrd 5114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))
53	9, 52	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) ≤ (𝐷‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092   “ cima 5622  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  infcinf 9331  ℝcr 11008  0cc0 11009  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  Ringcrg 20118  DivRingcdr 20614  LIdealclidl 21113  Poly₁cpl1 22059  deg₁cdg1 25957  Monic_1pcmn1 26029  idlGen_1pcig1p 26033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-cnfld 21262  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-mdeg 25958  df-deg1 25959  df-mon1 26034  df-uc1p 26035  df-ig1p 26038

This theorem is referenced by:  minplymindeg  33681  minplyirredlem  33683  irredminply  33689