Theorem isdrng3lem1 21047

Description: Lemma for isdrng3 21049 (for the left to right implication). Formerly part of proof for isdrng3 21049. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 22-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng3lem1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   1 (𝑥)

Proof of Theorem isdrng3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	isdrng3lem0 21046	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 })
3	2	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
4	3	eleq2i 2856	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
5		oveq1 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) → (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥))
6	5	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) → ((𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ))
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
8		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
9	7, 8	grpinvcl 19239	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
10	9	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
13	7, 11, 12, 8	grplinv 19241	. . . . . . 7 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
14	13	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
15		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16	15	ringmgp 20507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
17	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
18		isdrng3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
19	1, 18	ringidcl 20536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ∈ 𝐵)
21		isdrng3.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
23	1, 21, 22	isdrng2 21039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp))
24	21, 18	drngunz 21043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )
25	23, 24	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ≠ 0 )
26	20, 25	eldifsnd 4750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
27		difssd 4076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
28	15, 1	mgpbas 20407	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	15, 18	ringidval 20451	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
30	22, 28, 29	ress0g 18995	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
31	30	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
32	17, 26, 27, 31	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
34	14, 33	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
35	6, 10, 34	rspcedvdw 3583	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
36	4, 35	sylan2b 606	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
37	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 }))
38	37	rexeqdv 3324	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ))
39		isdrng3.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
40	15, 39	mgpplusg 20406	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
41	1	fvexi 6928	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
42	41	difexi 5297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
43		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
44	22, 43	ressplusg 17503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
45	42, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
46	40, 45	eqtr2i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = ·
47	46	oveqi 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (𝑦 · 𝑥)
48	47	eqeq1i 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑥) = 1 )
49	48	rexbii 3113	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )
50	38, 49	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
51	36, 50	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )
52	51	ralrimiva 3158	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  +_gcplusg 17469  ._rcmulr 17470  0_gc0g 17651  Mndcmnd 18964  Grpcgrp 19185  inv_gcminusg 19186  mulGrpcmgp 20402  1_rcur 20449  Ringcrg 20501  DivRingcdr 21022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-tpos 8279  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-oppr 20609  df-dvdsr 20629  df-unit 20630  df-invr 20660  df-dvr 20673  df-drng 21024

This theorem is used by:  isdrng3  21049