Theorem isdrng3lem1 20851

Description: Lemma for isdrng3 20853 (for the left to right implication). Formerly part of proof for isdrng3 20853. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 22-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng3lem1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   1 (𝑥)

Proof of Theorem isdrng3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	isdrng3lem0 20850	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 })
3	2	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
4	3	eleq2i 2855	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
5		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) → (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥))
6	5	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) → ((𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ))
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
8		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
9	7, 8	grpinvcl 19049	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
10	9	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
13	7, 11, 12, 8	grplinv 19051	. . . . . . 7 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
14	13	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
15		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16	15	ringmgp 20316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
17	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
18		isdrng3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
19	1, 18	ringidcl 20344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ∈ 𝐵)
21		isdrng3.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
23	1, 21, 22	isdrng2 20843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp))
24	21, 18	drngunz 20847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )
25	23, 24	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ≠ 0 )
26	20, 25	eldifsnd 4755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
27		difssd 4091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
28	15, 1	mgpbas 20216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	15, 18	ringidval 20260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
30	22, 28, 29	ress0g 18815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
31	30	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
32	17, 26, 27, 31	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
33	32	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
34	14, 33	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
35	6, 10, 34	rspcedvdw 3584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
36	4, 35	sylan2b 605	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
37	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 }))
38	37	rexeqdv 3324	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ))
39		isdrng3.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
40	15, 39	mgpplusg 20215	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
41	1	fvexi 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
42	41	difexi 5301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
43		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
44	22, 43	ressplusg 17339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
45	42, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
46	40, 45	eqtr2i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = ·
47	46	oveqi 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (𝑦 · 𝑥)
48	47	eqeq1i 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑥) = 1 )
49	48	rexbii 3112	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )
50	38, 49	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
51	36, 50	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )
52	51	ralrimiva 3157	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  mulGrpcmgp 20211  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  DivRingcdr 20827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-drng 20829

This theorem is referenced by:  isdrng3  20853