Theorem isdrng3lem1 21011

Description: Lemma for isdrng3 21013 (for the left to right implication). Formerly part of proof for isdrng3 21013. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 22-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng3lem1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   1 (𝑥)

Proof of Theorem isdrng3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	isdrng3lem0 21010	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 })
3	2	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
4	3	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
5		oveq1 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) → (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥))
6	5	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) → ((𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ))
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
9	7, 8	grpinvcl 19204	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
10	9	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
12		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
13	7, 11, 12, 8	grplinv 19206	. . . . . . 7 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
14	13	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
15		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16	15	ringmgp 20471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
17	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
18		isdrng3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
19	1, 18	ringidcl 20500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ∈ 𝐵)
21		isdrng3.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
23	1, 21, 22	isdrng2 21003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp))
24	21, 18	drngunz 21007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )
25	23, 24	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ≠ 0 )
26	20, 25	eldifsnd 4746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
27		difssd 4073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
28	15, 1	mgpbas 20371	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	15, 18	ringidval 20415	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
30	22, 28, 29	ress0g 18960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
31	30	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
32	17, 26, 27, 31	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
34	14, 33	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
35	6, 10, 34	rspcedvdw 3579	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
36	4, 35	sylan2b 606	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
37	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 }))
38	37	rexeqdv 3320	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ))
39		isdrng3.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
40	15, 39	mgpplusg 20370	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
41	1	fvexi 6900	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
42	41	difexi 5291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
43		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
44	22, 43	ressplusg 17468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
45	42, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
46	40, 45	eqtr2i 2784	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = ·
47	46	oveqi 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (𝑦 · 𝑥)
48	47	eqeq1i 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑥) = 1 )
49	48	rexbii 3109	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )
50	38, 49	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
51	36, 50	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )
52	51	ralrimiva 3154	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  +_gcplusg 17434  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616  Mndcmnd 18929  Grpcgrp 19150  inv_gcminusg 19151  mulGrpcmgp 20366  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  DivRingcdr 20986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-dvr 20637  df-drng 20988

This theorem is used by:  isdrng3  21013