Theorem isdrng3lem1 20881

Description: Lemma for isdrng3 20883 (for the left to right implication). Formerly part of proof for isdrng3 20883. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 22-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng3lem1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   1 (𝑥)

Proof of Theorem isdrng3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	isdrng3lem0 20880	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 })
3	2	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
4	3	eleq2i 2857	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
5		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) → (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥))
6	5	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) → ((𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ))
7		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
8		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
9	7, 8	grpinvcl 19078	. . . . . 6 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
10	9	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
12		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
13	7, 11, 12, 8	grplinv 19080	. . . . . . 7 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
14	13	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
15		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16	15	ringmgp 20345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
17	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
18		isdrng3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
19	1, 18	ringidcl 20373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ∈ 𝐵)
21		isdrng3.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
23	1, 21, 22	isdrng2 20873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp))
24	21, 18	drngunz 20877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )
25	23, 24	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ≠ 0 )
26	20, 25	eldifsnd 4757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
27		difssd 4091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
28	15, 1	mgpbas 20245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	15, 18	ringidval 20289	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
30	22, 28, 29	ress0g 18842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
31	30	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
32	17, 26, 27, 31	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 1 )
34	14, 33	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))‘𝑥)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
35	6, 10, 34	rspcedvdw 3586	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))) → ∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
36	4, 35	sylan2b 606	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 )
37	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 }))
38	37	rexeqdv 3326	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ))
39		isdrng3.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
40	15, 39	mgpplusg 20244	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
41	1	fvexi 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
42	41	difexi 5303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
43		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
44	22, 43	ressplusg 17362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
45	42, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
46	40, 45	eqtr2i 2789	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = ·
47	46	oveqi 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = (𝑦 · 𝑥)
48	47	eqeq1i 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑥) = 1 )
49	48	rexbii 3114	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )
50	38, 49	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))(𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ))
51	36, 50	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )
52	51	ralrimiva 3159	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287   ↾_s cress 17308  +_gcplusg 17328  ._rcmulr 17329  0_gc0g 17510  Mndcmnd 18814  Grpcgrp 19024  inv_gcminusg 19025  mulGrpcmgp 20240  1_rcur 20287  Ringcrg 20339  DivRingcdr 20857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-dvr 20509  df-drng 20859

This theorem is used by:  isdrng3  20883