Theorem isdrng3lem2 21048

Description: Lemma for isdrng3 21049 (for the right to left implication). Formerly part of proof for isdrng3 21049. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 22-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng3lem2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑥, 1   𝑥, ·

Proof of Theorem isdrng3lem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	isdrng3lem0 21046	. . . 4 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 })
3	2	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
5	1	fvexi 6928	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝐵 ∈ V)
7	6	difexd 5298	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10		isdrng3.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	9, 10	mgpplusg 20406	. . . 4 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
12	8, 11	ressplusg 17503	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
13	7, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
14		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eldifi 4070	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		eldifi 4070	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑏 ∈ 𝐵)
17	1, 10	ringcl 20519	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
18	14, 15, 16, 17	syl3an 1178	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
19		oveq2 7457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦 · 𝑎))
20	19	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑎) = 1 ))
21	20	rexbidv 3190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ))
22	21	rspcv 3576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ))
23	22	imdistanri 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
24		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ))
25		isdrng3.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
26		isdrng3.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
29		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
30		difss 4075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
31		ssrexv 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑎) = 1 ))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑎) = 1 )
33		oveq1 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
34	33	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ (𝑐 · 𝑎) = 1 ))
35	34	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
36	32, 35	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
37	36	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
39		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
40	1, 10, 25, 26, 28, 29, 38, 39	ringinvnzdiv 20574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 ↔ 𝑏 = 0 ))
41	40	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
42	41	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
43	15, 42	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
44	43	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
45	44	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
46	45	necon3d 2980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ≠ 0 → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 ))
47	46	impr 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
48	24, 47	sylan2b 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
49	48	an32s 665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
50	49	ancom2s 663	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
51	23, 50	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
52	51	an42s 674	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
53	52	exp32 426	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )))
54	53	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )))
55	54	3imp 1128	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
56	18, 55	eldifsnd 4750	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
57		eldifi 4070	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑐 ∈ 𝐵)
58	15, 16, 57	3anim123i 1169	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵))
59	1, 10	ringass 20522	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
60	14, 58, 59	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
61	1, 25	ringidcl 20536	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
62		nelsn 4627	. . . . 5 ⊢ ( 1 ≠ 0 → ¬ 1 ∈ { 0 })
63	61, 62	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 1 ∈ { 0 }))
64		eldif 4052	. . . 4 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 1 ∈ { 0 }))
65	63, 64	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
66	65	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
67	1, 10, 25	ringlidm 20540	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑎) = 𝑎)
68	14, 15, 67	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑎) = 𝑎)
69		oveq1 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 · 𝑎) = (𝑏 · 𝑎))
70	69	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ (𝑏 · 𝑎) = 1 ))
71	70	cbvrexvw 3245	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 )
72	21, 71	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 ))
73	72	rspccv 3577	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 ))
74	73	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 ))
75	74	imp 412	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 )
76	4, 13, 56, 60, 66, 68, 75	isgrpde 19209	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  +_gcplusg 17469  ._rcmulr 17470  0_gc0g 17651  Grpcgrp 19185  mulGrpcmgp 20402  1_rcur 20449  Ringcrg 20501

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503

This theorem is used by:  isdrng3  21049