Theorem isdrng3lem2 20852

Description: Lemma for isdrng3 20853 (for the right to left implication). Formerly part of proof for isdrng3 20853. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 22-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng3lem2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑥, 1   𝑥, ·

Proof of Theorem isdrng3lem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	isdrng3lem0 20850	. . . 4 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 })
3	2	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
5	1	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝐵 ∈ V)
7	6	difexd 5302	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10		isdrng3.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	9, 10	mgpplusg 20215	. . . 4 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
12	8, 11	ressplusg 17339	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
13	7, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
14		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eldifi 4085	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		eldifi 4085	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑏 ∈ 𝐵)
17	1, 10	ringcl 20327	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
18	14, 15, 16, 17	syl3an 1178	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
19		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦 · 𝑎))
20	19	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑎) = 1 ))
21	20	rexbidv 3189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ))
22	21	rspcv 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ))
23	22	imdistanri 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
24		eldifsn 4753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ))
25		isdrng3.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
26		isdrng3.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
28	27	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
29		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
30		difss 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
31		ssrexv 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑎) = 1 ))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑎) = 1 )
33		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
34	33	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ (𝑐 · 𝑎) = 1 ))
35	34	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
36	32, 35	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
37	36	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
39		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
40	1, 10, 25, 26, 28, 29, 38, 39	ringinvnzdiv 20380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 ↔ 𝑏 = 0 ))
41	40	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
42	41	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
43	15, 42	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
44	43	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
45	44	imp 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
46	45	necon3d 2979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ≠ 0 → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 ))
47	46	impr 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
48	24, 47	sylan2b 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
49	48	an32s 664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
50	49	ancom2s 662	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
51	23, 50	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
52	51	an42s 673	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
53	52	exp32 425	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )))
54	53	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )))
55	54	3imp 1128	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
56	18, 55	eldifsnd 4755	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
57		eldifi 4085	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑐 ∈ 𝐵)
58	15, 16, 57	3anim123i 1169	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵))
59	1, 10	ringass 20330	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
60	14, 58, 59	syl2an 607	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
61	1, 25	ringidcl 20344	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
62		nelsn 4632	. . . . 5 ⊢ ( 1 ≠ 0 → ¬ 1 ∈ { 0 })
63	61, 62	anim12i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 1 ∈ { 0 }))
64		eldif 3915	. . . 4 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 1 ∈ { 0 }))
65	63, 64	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
66	65	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
67	1, 10, 25	ringlidm 20348	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑎) = 𝑎)
68	14, 15, 67	syl2an 607	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑎) = 𝑎)
69		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 · 𝑎) = (𝑏 · 𝑎))
70	69	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ (𝑏 · 𝑎) = 1 ))
71	70	cbvrexvw 3244	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 )
72	21, 71	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 ))
73	72	rspccv 3578	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 ))
74	73	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 ))
75	74	imp 411	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 )
76	4, 13, 56, 60, 66, 68, 75	isgrpde 19019	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  mulGrpcmgp 20211  1_rcur 20258  Ringcrg 20310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312

This theorem is referenced by:  isdrng3  20853