Theorem isdrng3lem2 21012

Description: Lemma for isdrng3 21013 (for the right to left implication). Formerly part of proof for isdrng3 21013. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.) (Revised by AV, 22-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng3.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng3.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng3.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdrng3lem2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑥, 1   𝑥, ·

Proof of Theorem isdrng3lem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	isdrng3lem0 21010	. . . 4 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (𝐵 ∖ { 0 })
3	2	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
5	1	fvexi 6900	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝐵 ∈ V)
7	6	difexd 5292	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10		isdrng3.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	9, 10	mgpplusg 20370	. . . 4 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
12	8, 11	ressplusg 17468	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
13	7, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
14		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eldifi 4067	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		eldifi 4067	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑏 ∈ 𝐵)
17	1, 10	ringcl 20483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
18	14, 15, 16, 17	syl3an 1178	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
19		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦 · 𝑎))
20	19	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ (𝑦 · 𝑎) = 1 ))
21	20	rexbidv 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ))
22	21	rspcv 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ))
23	22	imdistanri 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
24		eldifsn 4744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 ))
25		isdrng3.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
26		isdrng3.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
29		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
30		difss 4072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
31		ssrexv 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑎) = 1 ))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑎) = 1 )
33		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
34	33	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ (𝑐 · 𝑎) = 1 ))
35	34	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
36	32, 35	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
37	36	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 · 𝑎) = 1 )
39		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
40	1, 10, 25, 26, 28, 29, 38, 39	ringinvnzdiv 20538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 ↔ 𝑏 = 0 ))
41	40	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
42	41	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
43	15, 42	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
44	43	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
45	44	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
46	45	necon3d 2976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ≠ 0 → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 ))
47	46	impr 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ≠ 0 )) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
48	24, 47	sylan2b 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
49	48	an32s 665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 )) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
50	49	ancom2s 663	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
51	23, 50	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
52	51	an42s 674	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
53	52	exp32 426	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )))
54	53	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )))
55	54	3imp 1128	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 0 )
56	18, 55	eldifsnd 4746	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 𝑏) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
57		eldifi 4067	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑐 ∈ 𝐵)
58	15, 16, 57	3anim123i 1169	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵))
59	1, 10	ringass 20486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
60	14, 58, 59	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
61	1, 25	ringidcl 20500	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
62		nelsn 4623	. . . . 5 ⊢ ( 1 ≠ 0 → ¬ 1 ∈ { 0 })
63	61, 62	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 1 ∈ { 0 }))
64		eldif 4049	. . . 4 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 1 ∈ { 0 }))
65	63, 64	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
66	65	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
67	1, 10, 25	ringlidm 20504	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑎) = 𝑎)
68	14, 15, 67	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑎) = 𝑎)
69		oveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 · 𝑎) = (𝑏 · 𝑎))
70	69	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ (𝑏 · 𝑎) = 1 ))
71	70	cbvrexvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑎) = 1 ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 )
72	21, 71	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 ))
73	72	rspccv 3573	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 ))
74	73	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 ))
75	74	imp 412	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑏 · 𝑎) = 1 )
76	4, 13, 56, 60, 66, 68, 75	isgrpde 19174	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  +_gcplusg 17434  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616  Grpcgrp 19150  mulGrpcmgp 20366  1_rcur 20413  Ringcrg 20465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467

This theorem is used by:  isdrng3  21013