Theorem lgssq2 27383

Description: The Legendre symbol at a square is equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgssq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = 1)

Proof of Theorem lgssq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 12636	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nnne0 12301	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
5	4	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ≠ 0)
6		lgsdi 27379	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
7	1, 3, 3, 5, 5, 6	syl32anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
8		nncn 12275	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	sqvald 14184	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
11	10	oveq2d 7448	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)))
12		lgscl 27356	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
13	1, 3, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
14	13	zred 12724	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ)
15		absresq 15342	. . . 4 ⊢ ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
17		lgsabs1 27381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18	2, 17	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
19	18	biimp3ar 1471	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1)
20	19	oveq1d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = (1↑2))
21		sq1 14235	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = 1)
23	13	zcnd 12725	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
24	23	sqvald 14184	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴 /L 𝑁)↑2) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
25	16, 22, 24	3eqtr3d 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
26	7, 11, 25	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  ℕcn 12267  2c2 12322  ℤcz 12615  ↑cexp 14103  abscabs 15274   gcd cgcd 16532   /_L clgs 27339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-phi 16804  df-pc 16876  df-lgs 27340

This theorem is referenced by:  lgs1  27386  lgsquad2lem2  27430