Theorem lgssq2 27400

Description: The Legendre symbol at a square is equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgssq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = 1)

Proof of Theorem lgssq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 12660	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nnne0 12327	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
5	4	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ≠ 0)
6		lgsdi 27396	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
7	1, 3, 3, 5, 5, 6	syl32anc 1378	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
8		nncn 12301	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	sqvald 14193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
11	10	oveq2d 7464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)))
12		lgscl 27373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
13	1, 3, 12	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
14	13	zred 12747	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ)
15		absresq 15351	. . . 4 ⊢ ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
17		lgsabs1 27398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18	2, 17	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
19	18	biimp3ar 1470	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1)
20	19	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = (1↑2))
21		sq1 14244	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = 1)
23	13	zcnd 12748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
24	23	sqvald 14193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴 /L 𝑁)↑2) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
25	16, 22, 24	3eqtr3d 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
26	7, 11, 25	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ↑cexp 14112  abscabs 15283   gcd cgcd 16540   /_L clgs 27356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-phi 16813  df-pc 16884  df-lgs 27357

This theorem is referenced by:  lgs1  27403  lgsquad2lem2  27447