Theorem lgssq2 27249

Description: The Legendre symbol at a square is equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgssq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = 1)

Proof of Theorem lgssq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 12550	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nnne0 12220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
5	4	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ≠ 0)
6		lgsdi 27245	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
7	1, 3, 3, 5, 5, 6	syl32anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
8		nncn 12194	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	sqvald 14108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
11	10	oveq2d 7403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)))
12		lgscl 27222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
13	1, 3, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
14	13	zred 12638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ)
15		absresq 15268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
17		lgsabs1 27247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18	2, 17	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
19	18	biimp3ar 1472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1)
20	19	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = (1↑2))
21		sq1 14160	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = 1)
23	13	zcnd 12639	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
24	23	sqvald 14108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴 /L 𝑁)↑2) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
25	16, 22, 24	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
26	7, 11, 25	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ↑cexp 14026  abscabs 15200   gcd cgcd 16464   /_L clgs 27205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-phi 16736  df-pc 16808  df-lgs 27206

This theorem is referenced by:  lgs1  27252  lgsquad2lem2  27296