Theorem linecom 36151

Description: Commutativity law for lines. Part of theorem 6.17 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Scott Fenton, 28-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
linecom	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑃Line𝑄) = (𝑄Line𝑃))

Proof of Theorem linecom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp21 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simp22 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		colinearperm1 36063	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩))
7	6	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩))
8	7	rabbidva 3443	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩} = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩})
9		fvline2 36147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑃Line𝑄) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩})
10		necom 2994	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑄 ≠ 𝑃)
11	10	3anbi3i 1160	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ↔ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃))
12		3ancoma 1098	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃) ↔ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃))
13	11, 12	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ↔ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃))
14		fvline2 36147	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃)) → (𝑄Line𝑃) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩})
15	13, 14	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑄Line𝑃) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩})
16	8, 9, 15	3eqtr4d 2787	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑃Line𝑄) = (𝑄Line𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕcn 12266  𝔼cee 28903   Colinear ccolin 36038  Linecline2 36135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-ee 28906  df-btwn 28907  df-cgr 28908  df-colinear 36040  df-line2 36138

This theorem is referenced by:  linerflx2  36152  linethru  36154