Theorem linecom 35414

Description: Commutativity law for lines. Part of theorem 6.17 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Scott Fenton, 28-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
linecom	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑃Line𝑄) = (𝑄Line𝑃))

Proof of Theorem linecom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp21 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simp22 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		colinearperm1 35326	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩))
7	6	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩))
8	7	rabbidva 3439	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩} = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩})
9		fvline2 35410	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑃Line𝑄) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩})
10		necom 2994	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑄 ≠ 𝑃)
11	10	3anbi3i 1159	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ↔ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃))
12		3ancoma 1098	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃) ↔ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃))
13	11, 12	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ↔ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃))
14		fvline2 35410	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃)) → (𝑄Line𝑃) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩})
15	13, 14	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑄Line𝑃) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑄, 𝑃⟩})
16	8, 9, 15	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑃Line𝑄) = (𝑄Line𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {crab 3432  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℕcn 12216  𝔼cee 28401   Colinear ccolin 35301  Linecline2 35398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-ee 28404  df-btwn 28405  df-cgr 28406  df-colinear 35303  df-line2 35401

This theorem is referenced by:  linerflx2  35415  linethru  35417