Theorem linplyfv 49705

Description: The evaluation of a linear polynomial over a subset of the complex numbers at a complex number. (Contributed by AV, 31-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
linplyfv.p	⊢ 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
linplyfv	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem linplyfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		linplyfv.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
3		oveq1 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧↑𝑘) = (𝑋↑𝑘))
4	3	oveq2d 7465	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
5	4	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑘 ∈ (0...1) → ((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))))
6	5	ralrimiv 3157	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ∀𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
7	6	sumeq2d 15909	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
8		fz01pr 13924	. . . . 5 ⊢ (0...1) = {0, 1}
9	8	sumeq1i 15905	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0, 1} ((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘))
10		fveq2 6914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘0))
11		oveq2 7457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑0))
12	10, 11	oveq12d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐶‘0) · (𝑋↑0)))
13		fveq2 6914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘1))
14		oveq2 7457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑋↑𝑘) = (𝑋↑1))
15	13, 14	oveq12d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐶‘1) · (𝑋↑1)))
16		cnex 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
17		simp1 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		mapss 8953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝑆 ↑m ℕ0) ⊆ (ℂ ↑m ℕ0))
19	16, 17, 18	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑆 ↑m ℕ0) ⊆ (ℂ ↑m ℕ0))
20		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0))
21	19, 20	sseldd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ (ℂ ↑m ℕ0))
22	21	elmaprd 8906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
23		0nn0 12659	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℕ0)
25	22, 24	ffvelcdmd 7115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐶‘0) ∈ ℂ)
26		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
27	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
28	26, 27	expcld 14327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
29	28	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
30	25, 29	mulcld 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐶‘0) · (𝑋↑0)) ∈ ℂ)
31		1nn0 12660	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ0)
33	22, 32	ffvelcdmd 7115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐶‘1) ∈ ℂ)
34	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ ℕ0)
35	26, 34	expcld 14327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋↑1) ∈ ℂ)
37	33, 36	mulcld 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐶‘1) · (𝑋↑1)) ∈ ℂ)
38	30, 37	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝐶‘0) · (𝑋↑0)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘1) · (𝑋↑1)) ∈ ℂ))
39		0z 12742	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
40		1z 12764	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
41	39, 40	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
43		0ne1 12452	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 0 ≠ 1)
45	12, 15, 38, 42, 44	sumpr 15955	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0, 1} ((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = (((𝐶‘0) · (𝑋↑0)) + ((𝐶‘1) · (𝑋↑1))))
46		exp0 14246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑0) = 1)
47	46	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋↑0) = 1)
48	47	oveq2d 7465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐶‘0) · (𝑋↑0)) = ((𝐶‘0) · 1))
49	25	mulridd 11363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐶‘0) · 1) = (𝐶‘0))
50	48, 49	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐶‘0) · (𝑋↑0)) = (𝐶‘0))
51		exp1 14248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑1) = 𝑋)
52	51	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋↑1) = 𝑋)
53	52	oveq2d 7465	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐶‘1) · (𝑋↑1)) = ((𝐶‘1) · 𝑋))
54	50, 53	oveq12d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝐶‘0) · (𝑋↑0)) + ((𝐶‘1) · (𝑋↑1))) = ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)))
55	45, 54	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0, 1} ((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)))
56	9, 55	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)))
57	7, 56	sylan9eqr 2820	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 = 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)))
58		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
59		ovexd 7484	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)) ∈ V)
60	2, 57, 58, 59	fvmptd 7030	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {cpr 4590   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ↑_m cmap 8883  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ...cfz 13677  ↑cexp 14242  Σcsu 15894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-sum 15895

This theorem is used by:  linply2cfv  49706