Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo1cn 40786
Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval, wirth respect to the standard topology on complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo1cn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lptioo1cn.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1cn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1cn.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lptioo1cn (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1cn
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2 lptioo1cn.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 lptioo1cn.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 lptioo1cn.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
51, 2, 3, 4lptioo1 40772 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
6 eqid 2778 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldtop 22995 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
87a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
9 ax-resscn 10329 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
10 unicntop 22997 . . . . . . . 8 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
119, 10sseqtri 3856 . . . . . . 7 ℝ ⊆ (TopOpen‘ℂfld)
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ (TopOpen‘ℂfld))
13 ioossre 12547 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
15 eqid 2778 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
166tgioo2 23014 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1715, 16restlp 21395 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ (TopOpen‘ℂfld) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
188, 12, 14, 17syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
195, 18eleqtrd 2861 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
20 elin 4019 . . . 4 (𝐴 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2119, 20sylib 210 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2221simpld 490 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
23 lptioo1cn.1 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2423eqcomi 2787 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = 𝐽
2524fveq2i 6449 . . 3 (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐽)
2625fveq1i 6447 . 2 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵))
2722, 26syl6eleq 2869 1 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cin 3791  wss 3792   cuni 4671   class class class wbr 4886  ran crn 5356  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  *cxr 10410   < clt 10411  (,)cioo 12487  TopOpenctopn 16468  topGenctg 16484  fldccnfld 20142  Topctop 21105  limPtclp 21346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-rest 16469  df-topn 16470  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-xms 22533  df-ms 22534
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  41036  fourierdlem61  41311  fourierdlem75  41325  fourierdlem85  41335  fourierdlem88  41338  fourierdlem94  41344  fourierdlem95  41345  fourierdlem103  41353  fourierdlem104  41354  fourierdlem113  41363
  Copyright terms: Public domain W3C validator