Theorem lptioo1cn 45602

Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval, wirth respect to the standard topology on complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo1cn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lptioo1cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo1cn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2		lptioo1cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		lptioo1cn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		lptioo1cn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	lptioo1 45588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
6		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtop 24820	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
9		ax-resscn 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10		unicntop 24822	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
11	9, 10	sseqtri 4032	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld))
13		ioossre 13445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
15		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘ℂfld) = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
16	6	tgioo2 24839	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
17	15, 16	restlp 23207	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
19	5, 18	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
20		elin 3979	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
21	19, 20	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
22	21	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
23		lptioo1cn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
24	23	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = 𝐽
25	24	fveq2i 6910	. . 3 ⊢ (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐽)
26	25	fveq1i 6908	. 2 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵))
27	22, 26	eleqtrdi 2849	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293  (,)cioo 13384  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  ℂ_fldccnfld 21382  Topctop 22915  limPtclp 23158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-xms 24346  df-ms 24347

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  45851  fourierdlem61  46123  fourierdlem75  46137  fourierdlem85  46147  fourierdlem88  46150  fourierdlem94  46156  fourierdlem95  46157  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem113  46175