Theorem lptioo1cn 44348

Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval, wirth respect to the standard topology on complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo1cn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lptioo1cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo1cn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2		lptioo1cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		lptioo1cn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		lptioo1cn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	lptioo1 44334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
6		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtop 24291	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
9		ax-resscn 11163	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10		unicntop 24293	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
11	9, 10	sseqtri 4017	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld))
13		ioossre 13381	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
15		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘ℂfld) = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
16	6	tgioo2 24310	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
17	15, 16	restlp 22678	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
19	5, 18	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
20		elin 3963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
21	19, 20	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
22	21	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
23		lptioo1cn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
24	23	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = 𝐽
25	24	fveq2i 6891	. . 3 ⊢ (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐽)
26	25	fveq1i 6889	. 2 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵))
27	22, 26	eleqtrdi 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  ℂ_fldccnfld 20936  Topctop 22386  limPtclp 22629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-xms 23817  df-ms 23818

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  44597  fourierdlem61  44869  fourierdlem75  44883  fourierdlem85  44893  fourierdlem88  44896  fourierdlem94  44902  fourierdlem95  44903  fourierdlem103  44911  fourierdlem104  44912  fourierdlem113  44921