Theorem lptioo1cn 45644

Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval, wirth respect to the standard topology on complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo1cn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lptioo1cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo1cn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2		lptioo1cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		lptioo1cn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		lptioo1cn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	lptioo1 45630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
6		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtop 24671	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
9		ax-resscn 11125	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10		unicntop 24673	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
11	9, 10	sseqtri 3995	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld))
13		ioossre 13368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘ℂfld) = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
16		tgioo4 24693	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
17	15, 16	restlp 23070	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
19	5, 18	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
20		elin 3930	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
21	19, 20	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
22	21	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
23		lptioo1cn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
24	23	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = 𝐽
25	24	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐽)
26	25	fveq1i 6859	. 2 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵))
27	22, 26	eleqtrdi 2838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  (,)cioo 13306  TopOpenctopn 17384  topGenctg 17400  ℂ_fldccnfld 21264  Topctop 22780  limPtclp 23021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-xms 24208  df-ms 24209

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  45893  fourierdlem61  46165  fourierdlem75  46179  fourierdlem85  46189  fourierdlem88  46192  fourierdlem94  46198  fourierdlem95  46199  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem113  46217