Theorem spansncv2 32223

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansncv2	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (¬ (span‘{𝐵}) ⊆ 𝐴 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))

Proof of Theorem spansncv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansncv 31583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))) → 𝑥 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))
2	1	3exp 1116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ∈ ℋ → ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))) → 𝑥 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))))
3	2	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐵 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))) → 𝑥 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))))
4	3	imp 405	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))) → 𝑥 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})))))
5	4	ralrimiv 3135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))) → 𝑥 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))
6	5	anim2i 615	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))) → 𝑥 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})))))
7	6	expcom 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) → (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))) → 𝑥 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))))
8		spansnch 31490	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ Cℋ )
9		chnle 31444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (span‘{𝐵}) ∈ Cℋ ) → (¬ (span‘{𝐵}) ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))
10	8, 9	sylan2 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (¬ (span‘{𝐵}) ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))
11		chjcl 31287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (span‘{𝐵}) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Cℋ )
12	8, 11	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Cℋ )
13		cvbr2 32213	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))) → 𝑥 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))))
14	12, 13	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ↔ (𝐴 ⊊ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ((𝐴 ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))) → 𝑥 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))))
15	7, 10, 14	3imtr4d 293	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (¬ (span‘{𝐵}) ⊆ 𝐴 → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ⊆ wss 3946   ⊊ wpss 3947  {csn 4623   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416   ℋchba 30849   C_ℋ cch 30859  spancspn 30862   ∨_ℋ chj 30863   ⋖_ℋ ccv 30894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cc 10469  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229  ax-hilex 30929  ax-hfvadd 30930  ax-hvcom 30931  ax-hvass 30932  ax-hv0cl 30933  ax-hvaddid 30934  ax-hfvmul 30935  ax-hvmulid 30936  ax-hvmulass 30937  ax-hvdistr1 30938  ax-hvdistr2 30939  ax-hvmul0 30940  ax-hfi 31009  ax-his1 31012  ax-his2 31013  ax-his3 31014  ax-his4 31015  ax-hcompl 31132

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-acn 9978  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-lm 23221  df-haus 23307  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cfil 25271  df-cau 25272  df-cmet 25273  df-grpo 30423  df-gid 30424  df-ginv 30425  df-gdiv 30426  df-ablo 30475  df-vc 30489  df-nv 30522  df-va 30525  df-ba 30526  df-sm 30527  df-0v 30528  df-vs 30529  df-nmcv 30530  df-ims 30531  df-dip 30631  df-ssp 30652  df-ph 30743  df-cbn 30793  df-hnorm 30898  df-hba 30899  df-hvsub 30901  df-hlim 30902  df-hcau 30903  df-sh 31137  df-ch 31151  df-oc 31182  df-ch0 31183  df-shs 31238  df-span 31239  df-chj 31240  df-pjh 31325  df-cv 32209

This theorem is referenced by:  chcv1  32285