Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem3 40324
Description: Prior to part 14 in [Baer] p. 49, line 26. (Contributed by NM, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem1.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem3.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem1.z 𝑍 = (0g𝑅)
hdmap14lem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem2.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap14lem2.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem2.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem2.q 𝑄 = (0g𝑃)
hdmap14lem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem3.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem3 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 (𝑆𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   ,𝑔   𝑔,𝐹   𝑄,𝑔   𝑆,𝑔   · ,𝑔   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)   0 (𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem3
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem1.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap14lem1.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑈)
5 hdmap14lem3.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
6 hdmap14lem1.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7 hdmap14lem1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 hdmap14lem1.z . . . 4 𝑍 = (0g𝑅)
9 hdmap14lem1.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmap14lem2.e . . . 4 = ( ·𝑠𝐶)
11 hdmap14lem1.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
12 hdmap14lem2.p . . . 4 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13 hdmap14lem2.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑃)
14 hdmap14lem2.q . . . 4 𝑄 = (0g𝑃)
15 hdmap14lem1.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmap14lem1.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 hdmap14lem3.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 hdmap14lem1.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18hdmap14lem1 40322 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑋)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}))
2019eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}) = (𝐿‘{(𝑆𝑋)}))
21 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
22 eqid 2736 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
231, 9, 16lcdlvec 40045 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
241, 2, 16dvhlmod 39564 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2518eldifad 3922 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
2617eldifad 3922 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
273, 6, 4, 7lmodvscl 20337 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
2824, 25, 26, 27syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
291, 2, 3, 9, 21, 15, 16, 28hdmapcl 40284 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ∈ (Base‘𝐶))
301, 2, 3, 5, 9, 22, 21, 15, 16, 17hdmapnzcl 40299 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g𝐶)}))
3121, 12, 13, 14, 10, 22, 11, 23, 29, 30lspsneu 20582 . 2 (𝜑 → ((𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}) = (𝐿‘{(𝑆𝑋)}) ↔ ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 (𝑆𝑋))))
3220, 31mpbid 231 1 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 (𝑆𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ∃!wreu 3351  cdif 3907  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  Scalarcsca 17135   ·𝑠 cvsca 17136  0gc0g 17320  LModclmod 20320  LSpanclspn 20430  HLchlt 37803  LHypclh 38438  DVecHcdvh 39532  LCDualclcd 40040  HDMapchdma 40246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-riotaBAD 37406
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-0g 17322  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-p1 18314  df-lat 18320  df-clat 18387  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-subg 18923  df-cntz 19095  df-oppg 19122  df-lsm 19416  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-oppr 20047  df-dvdsr 20068  df-unit 20069  df-invr 20099  df-dvr 20110  df-drng 20185  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-lvec 20562  df-lsatoms 37429  df-lshyp 37430  df-lcv 37472  df-lfl 37511  df-lkr 37539  df-ldual 37577  df-oposet 37629  df-ol 37631  df-oml 37632  df-covers 37719  df-ats 37720  df-atl 37751  df-cvlat 37775  df-hlat 37804  df-llines 37952  df-lplanes 37953  df-lvols 37954  df-lines 37955  df-psubsp 37957  df-pmap 37958  df-padd 38250  df-lhyp 38442  df-laut 38443  df-ldil 38558  df-ltrn 38559  df-trl 38613  df-tgrp 39197  df-tendo 39209  df-edring 39211  df-dveca 39457  df-disoa 39483  df-dvech 39533  df-dib 39593  df-dic 39627  df-dih 39683  df-doch 39802  df-djh 39849  df-lcdual 40041  df-mapd 40079  df-hvmap 40211  df-hdmap1 40247  df-hdmap 40248
This theorem is referenced by:  hdmap14lem4  40326
  Copyright terms: Public domain W3C validator