Theorem modm1p1ne 48719

Description: If an integer minus one equals another integer plus one modulo an integer greater than 4, then the first integer plus one is not equal to the second integer minus one modulo the same modulus. (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm1p1ne	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 1) mod 𝑁) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 − 1) mod 𝑁)))

Proof of Theorem modm1p1ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 13011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
2		4nn0 12665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℕ0)
4		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		0red 11350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
6		5re 12470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
8		zre 12737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
10		5pos 12495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 5
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 0 < 5)
12		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
13	5, 7, 9, 11, 12	ltletrd 11509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14		elnnz 12743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
15	4, 13, 14	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		4re 12467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
18		4lt5 12562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < 5
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 4 < 5)
20	17, 7, 9, 19, 12	ltletrd 11509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁)
21		elfzo0 13875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ (0..^𝑁) ↔ (4 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 4 < 𝑁))
22	3, 15, 20, 21	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 4 ∈ (0..^𝑁))
23	1, 22	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 4 ∈ (0..^𝑁))
24		zmodidfzoimp 14081	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (0..^𝑁) → (4 mod 𝑁) = 4)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (4 mod 𝑁) = 4)
26		4ne0 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ≠ 0
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 4 ≠ 0)
28	25, 27	eqnetrd 3026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (4 mod 𝑁) ≠ 0)
29		df-ne 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (((4 · 1) mod 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ ((4 · 1) mod 𝑁) = 0)
30		4cn 12468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
31	30	mulridi 11352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 1) = 4
32	31	oveq1i 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 · 1) mod 𝑁) = (4 mod 𝑁)
33	32	neeq1i 3023	. . . . . . . 8 ⊢ (((4 · 1) mod 𝑁) ≠ 0 ↔ (4 mod 𝑁) ≠ 0)
34	29, 33	bitr3i 280	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((4 · 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (4 mod 𝑁) ≠ 0)
35	28, 34	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → ¬ ((4 · 1) mod 𝑁) = 0)
36	35	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ¬ ((4 · 1) mod 𝑁) = 0)
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 1) mod 𝑁)) → ¬ ((4 · 1) mod 𝑁) = 0)
38		uzuzle35 13054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
39		eluz3nn 13056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
41	40	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		elfzoelz 13833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
43		modm1nep1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
44	42, 43	eleq2s 2882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℤ)
45	44	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ ℤ)
46		elfzoelz 13833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
47	46, 43	eleq2s 2882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
48	47	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ ℤ)
49		1zzd 12767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
50		modmkpkne 48710	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 1) mod 𝑁) → (((𝑌 + 1) mod 𝑁) = ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ↔ ((4 · 1) mod 𝑁) = 0)))
51	41, 45, 48, 49, 50	syl13anc 1400	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 1) mod 𝑁) → (((𝑌 + 1) mod 𝑁) = ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ↔ ((4 · 1) mod 𝑁) = 0)))
52	51	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 1) mod 𝑁)) → (((𝑌 + 1) mod 𝑁) = ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ↔ ((4 · 1) mod 𝑁) = 0))
53	37, 52	mtbird 328	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 1) mod 𝑁)) → ¬ ((𝑌 + 1) mod 𝑁) = ((𝑋 − 1) mod 𝑁))
54	53	neqned 2966	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 1) mod 𝑁)) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 − 1) mod 𝑁))
55	54	ex 418	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑋 + 1) mod 𝑁) → ((𝑌 + 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 − 1) mod 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ..^cfzo 13828   mod cmo 14049

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-dvds 16467

This theorem is used by:  gpgedg2ov  49437