Theorem modm1nem2 48145

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 minus one/minus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm1nem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem modm1nem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz5nn 12927	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
4		1zzd 12636	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
5	4	znegcld 12714	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -1 ∈ ℤ)
6		2z 12637	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
8	7	znegcld 12714	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -2 ∈ ℤ)
9		ax-1cn 11169	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		2cn 12327	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		neg2sub 11529	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 − -2) = (2 − 1))
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (-1 − -2) = (2 − 1)
13		2m1e1 12376	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (-1 − -2) = 1
15	14	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = (abs‘1)
16		abs1 15368	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
17	15, 16	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = 1
18		eluz2 12880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
19		1red 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
20		5re 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22		zre 12606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		1lt5 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 5
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 5)
26		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
27	19, 21, 23, 25, 26	ltletrd 11381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
28	27	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
29	18, 28	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 < 𝑁)
30		1elfzo1 13756	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
31	1, 29, 30	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 ∈ (1..^𝑁))
32	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ (1..^𝑁))
33	17, 32	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁))
34		modm1nep1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
35	34	mod2addne 48140	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ -1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
36	2, 3, 5, 8, 33, 35	syl131anc 1410	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
37		elfzoelz 13700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
38	37, 34	eleq2s 2883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
39	38	zcnd 12713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℂ)
40		1cnd 11213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 1 ∈ ℂ)
41	39, 40	negsubd 11586	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -1) = (𝑌 − 1))
42	41	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 1) = (𝑌 + -1))
43	42	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑌 + -1) mod 𝑁))
44		2cnd 12330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℂ)
45	39, 44	negsubd 11586	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
46	45	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 2) = (𝑌 + -2))
47	46	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) = ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
48	43, 47	neeq12d 3021	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
49	48	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
50	36, 49	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452  -cneg 11453  ℕcn 12244  2c2 12306  5c5 12309  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ..^cfzo 13695   mod cmo 13916  abscabs 15305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329

This theorem is used by:  pgnioedg4  48909