Theorem modm1nem2 47838

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 minus one/minus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm1nem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem modm1nem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz5nn 12832	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
4		1zzd 12549	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
5	4	znegcld 12626	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -1 ∈ ℤ)
6		2z 12550	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
8	7	znegcld 12626	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -2 ∈ ℤ)
9		ax-1cn 11087	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		2cn 12247	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		neg2sub 11445	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 − -2) = (2 − 1))
12	9, 10, 11	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (-1 − -2) = (2 − 1)
13		2m1e1 12293	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ (-1 − -2) = 1
15	14	fveq2i 6830	. . . . 5 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = (abs‘1)
16		abs1 15250	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
17	15, 16	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = 1
18		eluz2 12785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
19		1red 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
20		5re 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22		zre 12519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		1lt5 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 5
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 5)
26		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
27	19, 21, 23, 25, 26	ltletrd 11297	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
28	27	3adant1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
29	18, 28	sylbi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 < 𝑁)
30		1elfzo1 13660	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
31	1, 29, 30	sylanbrc 589	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 ∈ (1..^𝑁))
32	31	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ (1..^𝑁))
33	17, 32	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁))
34		modm1nep1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
35	34	mod2addne 47833	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ -1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
36	2, 3, 5, 8, 33, 35	syl131anc 1391	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
37		elfzoelz 13604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
38	37, 34	eleq2s 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
39	38	zcnd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℂ)
40		1cnd 11130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 1 ∈ ℂ)
41	39, 40	negsubd 11502	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -1) = (𝑌 − 1))
42	41	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 1) = (𝑌 + -1))
43	42	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑌 + -1) mod 𝑁))
44		2cnd 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℂ)
45	39, 44	negsubd 11502	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
46	45	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 2) = (𝑌 + -2))
47	46	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) = ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
48	43, 47	neeq12d 2995	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
49	48	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
50	36, 49	mpbird 258	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369  ℕcn 12165  2c2 12227  5c5 12230  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  pgnioedg4  48602