Theorem modm1nem2 47360

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 minus one/minus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm1nem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem modm1nem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz5nn 12856	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
4		1zzd 12570	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
5	4	znegcld 12646	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -1 ∈ ℤ)
6		2z 12571	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
8	7	znegcld 12646	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -2 ∈ ℤ)
9		ax-1cn 11132	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		2cn 12262	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		neg2sub 11488	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 − -2) = (2 − 1))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (-1 − -2) = (2 − 1)
13		2m1e1 12313	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (-1 − -2) = 1
15	14	fveq2i 6863	. . . . 5 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = (abs‘1)
16		abs1 15269	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
17	15, 16	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = 1
18		eluz2 12805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
19		1red 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
20		5re 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22		zre 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		1lt5 12367	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 5
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 5)
26		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
27	19, 21, 23, 25, 26	ltletrd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
28	27	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
29	18, 28	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 < 𝑁)
30		1elfzo1 13681	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
31	1, 29, 30	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 ∈ (1..^𝑁))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ (1..^𝑁))
33	17, 32	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁))
34		modm1nep1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
35	34	mod2addne 47355	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ -1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
36	2, 3, 5, 8, 33, 35	syl131anc 1385	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
37		elfzoelz 13626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
38	37, 34	eleq2s 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
39	38	zcnd 12645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℂ)
40		1cnd 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 1 ∈ ℂ)
41	39, 40	negsubd 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -1) = (𝑌 − 1))
42	41	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 1) = (𝑌 + -1))
43	42	oveq1d 7404	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑌 + -1) mod 𝑁))
44		2cnd 12265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℂ)
45	39, 44	negsubd 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
46	45	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 2) = (𝑌 + -2))
47	46	oveq1d 7404	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) = ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
48	43, 47	neeq12d 2987	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
49	48	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
50	36, 49	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   < clt 11214   ≤ cle 11215   − cmin 11411  -cneg 11412  ℕcn 12187  2c2 12242  5c5 12245  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ..^cfzo 13621   mod cmo 13837  abscabs 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229

This theorem is referenced by:  pgnioedg4  48091