Theorem modm1nem2 47729

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 minus one/minus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm1nem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem modm1nem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz5nn 12816	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
4		1zzd 12534	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
5	4	znegcld 12610	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -1 ∈ ℤ)
6		2z 12535	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
8	7	znegcld 12610	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -2 ∈ ℤ)
9		ax-1cn 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		2cn 12232	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		neg2sub 11453	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 − -2) = (2 − 1))
12	9, 10, 11	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (-1 − -2) = (2 − 1)
13		2m1e1 12278	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (-1 − -2) = 1
15	14	fveq2i 6845	. . . . 5 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = (abs‘1)
16		abs1 15232	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
17	15, 16	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = 1
18		eluz2 12769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
19		1red 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
20		5re 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22		zre 12504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		1lt5 12332	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 5
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 5)
26		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
27	19, 21, 23, 25, 26	ltletrd 11305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
28	27	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
29	18, 28	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 < 𝑁)
30		1elfzo1 13642	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
31	1, 29, 30	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 ∈ (1..^𝑁))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ (1..^𝑁))
33	17, 32	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁))
34		modm1nep1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
35	34	mod2addne 47724	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ -1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
36	2, 3, 5, 8, 33, 35	syl131anc 1386	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
37		elfzoelz 13587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
38	37, 34	eleq2s 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
39	38	zcnd 12609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℂ)
40		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 1 ∈ ℂ)
41	39, 40	negsubd 11510	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -1) = (𝑌 − 1))
42	41	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 1) = (𝑌 + -1))
43	42	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑌 + -1) mod 𝑁))
44		2cnd 12235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℂ)
45	39, 44	negsubd 11510	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
46	45	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 2) = (𝑌 + -2))
47	46	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) = ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
48	43, 47	neeq12d 2994	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
49	48	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
50	36, 49	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  2c2 12212  5c5 12215  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ..^cfzo 13582   mod cmo 13801  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  pgnioedg4  48471