Theorem modm1nem2 48112

Description: A nonnegative integer less than a modulus greater than 4 minus one/minus two are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 22-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modm1nep1.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modm1nem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

Proof of Theorem modm1nem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz5nn 12910	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
4		1zzd 12620	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
5	4	znegcld 12697	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -1 ∈ ℤ)
6		2z 12621	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℤ)
8	7	znegcld 12697	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → -2 ∈ ℤ)
9		ax-1cn 11153	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		2cn 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		neg2sub 11513	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-1 − -2) = (2 − 1))
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (-1 − -2) = (2 − 1)
13		2m1e1 12360	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (-1 − -2) = 1
15	14	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = (abs‘1)
16		abs1 15344	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
17	15, 16	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (abs‘(-1 − -2)) = 1
18		eluz2 12863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
19		1red 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
20		5re 12323	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22		zre 12590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23	22	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		1lt5 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 5
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 5)
26		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 5 ≤ 𝑁)
27	19, 21, 23, 25, 26	ltletrd 11365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
28	27	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
29	18, 28	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 < 𝑁)
30		1elfzo1 13739	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
31	1, 29, 30	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 1 ∈ (1..^𝑁))
32	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 1 ∈ (1..^𝑁))
33	17, 32	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁))
34		modm1nep1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
35	34	mod2addne 48107	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ -1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(-1 − -2)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
36	2, 3, 5, 8, 33, 35	syl131anc 1410	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
37		elfzoelz 13683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
38	37, 34	eleq2s 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
39	38	zcnd 12696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℂ)
40		1cnd 11197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 1 ∈ ℂ)
41	39, 40	negsubd 11570	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -1) = (𝑌 − 1))
42	41	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 1) = (𝑌 + -1))
43	42	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) = ((𝑌 + -1) mod 𝑁))
44		2cnd 12314	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℂ)
45	39, 44	negsubd 11570	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 + -2) = (𝑌 − 2))
46	45	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 − 2) = (𝑌 + -2))
47	46	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝑌 − 2) mod 𝑁) = ((𝑌 + -2) mod 𝑁))
48	43, 47	neeq12d 3019	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
49	48	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁) ↔ ((𝑌 + -1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + -2) mod 𝑁)))
50	36, 49	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑌 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 − 2) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  -cneg 11437  ℕcn 12228  2c2 12290  5c5 12293  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306

This theorem is referenced by:  pgnioedg4  48876