Theorem odzcllem 16917

Description: - Lemma for odzcl 16918, showing existence of a recurrent point for the exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
odzcllem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))

Proof of Theorem odzcllem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odzval 16916	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2		ssrab2 4028	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ⊆ ℕ
3		nnuz 12959	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 3979	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ≥‘1)
5		phicl 16893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
7		eulerth 16907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
8		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
10	6	nnnn0d 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
11		zexpcl 14173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
13		1z 12681	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		moddvds 16386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
15	13, 14	mp3an3 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
16	8, 12, 15	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
17	7, 16	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
18		oveq2 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(ϕ‘𝑁)))
19	18	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → ((𝐴↑𝑛) − 1) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
20	19	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
21	20	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ (((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
22	6, 17, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
23		rabn0 4339	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
24	22, 23	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ≠ ∅)
25		infssuzcl 13014	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
26	4, 24, 25	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
27	1, 26	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
28		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
29	28	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) → ((𝐴↑𝑛) − 1) = ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
30	29	breq2d 5115	. . 3 ⊢ (𝑛 = ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
31	30	elrab 3645	. 2 ⊢ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ↔ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
32	27, 31	sylib 221	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  infcinf 9411  ℝcr 11156  1c1 11158   < clt 11300   − cmin 11498  ℕcn 12290  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920   mod cmo 13963  ↑cexp 14158   ∥ cdvds 16375   gcd cgcd 16617  od_ℤcodz 16887  ϕcphi 16888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-dvds 16376  df-gcd 16618  df-odz 16889  df-phi 16890

This theorem is used by:  odzcl  16918  odzid  16919