Theorem odzcllem 16770

Description: - Lemma for odzcl 16771, showing existence of a recurrent point for the exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
odzcllem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))

Proof of Theorem odzcllem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odzval 16769	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2		ssrab2 4077	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ⊆ ℕ
3		nnuz 12905	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 4018	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ≥‘1)
5		phicl 16747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
7		eulerth 16761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
8		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		simp2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
10	6	nnnn0d 12572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
11		zexpcl 14083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
13		1z 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		moddvds 16251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
15	13, 14	mp3an3 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
16	8, 12, 15	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
17	7, 16	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
18		oveq2 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(ϕ‘𝑁)))
19	18	oveq1d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → ((𝐴↑𝑛) − 1) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
20	19	breq2d 5164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
21	20	rspcev 3611	. . . . . 6 ⊢ (((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
22	6, 17, 21	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
23		rabn0 4389	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
24	22, 23	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ≠ ∅)
25		infssuzcl 12956	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
26	4, 24, 25	sylancr 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
27	1, 26	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
28		oveq2 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
29	28	oveq1d 7441	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) → ((𝐴↑𝑛) − 1) = ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
30	29	breq2d 5164	. . 3 ⊢ (𝑛 = ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
31	30	elrab 3684	. 2 ⊢ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ↔ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
32	27, 31	sylib 217	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  {crab 3430   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  infcinf 9474  ℝcr 11147  1c1 11149   < clt 11288   − cmin 11484  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12512  ℤcz 12598  ℤ_≥cuz 12862   mod cmo 13876  ↑cexp 14068   ∥ cdvds 16240   gcd cgcd 16478  od_ℤcodz 16741  ϕcphi 16742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-odz 16743  df-phi 16744

This theorem is referenced by:  odzcl  16771  odzid  16772