MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odzcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odzcllem 15958
Description: - Lemma for odzcl 15959, showing existence of a recurrent point for the exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
odzcllem ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))

Proof of Theorem odzcllem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odzval 15957 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2 ssrab2 3979 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ ℕ
3 nnuz 12130 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3926 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1)
5 phicl 15935 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
653ad2ant1 1126 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
7 eulerth 15949 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
8 simp1 1129 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 simp2 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
106nnnn0d 11805 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
11 zexpcl 13294 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
129, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
13 1z 11862 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
14 moddvds 15451 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
1513, 14mp3an3 1442 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
168, 12, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
177, 16mpbid 233 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
18 oveq2 7027 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(ϕ‘𝑁)))
1918oveq1d 7034 . . . . . . . 8 (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → ((𝐴𝑛) − 1) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
2019breq2d 4976 . . . . . . 7 (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
2120rspcev 3557 . . . . . 6 (((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1))
226, 17, 21syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1))
23 rabn0 4261 . . . . 5 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1))
2422, 23sylibr 235 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ≠ ∅)
25 infssuzcl 12181 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)})
264, 24, 25sylancr 587 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)})
271, 26eqeltrd 2882 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)})
28 oveq2 7027 . . . . 5 (𝑛 = ((od𝑁)‘𝐴) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)))
2928oveq1d 7034 . . . 4 (𝑛 = ((od𝑁)‘𝐴) → ((𝐴𝑛) − 1) = ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
3029breq2d 4976 . . 3 (𝑛 = ((od𝑁)‘𝐴) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
3130elrab 3617 . 2 (((od𝑁)‘𝐴) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ↔ (((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
3227, 31sylib 219 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  wrex 3105  {crab 3108  wss 3861  c0 4213   class class class wbr 4964  cfv 6228  (class class class)co 7019  infcinf 8754  cr 10385  1c1 10387   < clt 10524  cmin 10719  cn 11488  0cn0 11747  cz 11831  cuz 12093   mod cmo 13087  cexp 13279  cdvds 15440   gcd cgcd 15676  odcodz 15929  ϕcphi 15930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-inf 8756  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-n0 11748  df-xnn0 11818  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-odz 15931  df-phi 15932
This theorem is referenced by:  odzcl  15959  odzid  15960
  Copyright terms: Public domain W3C validator