MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odzcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odzcllem 16830
Description: - Lemma for odzcl 16831, showing existence of a recurrent point for the exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
odzcllem ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))

Proof of Theorem odzcllem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odzval 16829 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2 ssrab2 4080 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ ℕ
3 nnuz 12921 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 4032 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1)
5 phicl 16806 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
653ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
7 eulerth 16820 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
8 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
106nnnn0d 12587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
11 zexpcl 14117 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
129, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
13 1z 12647 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
14 moddvds 16301 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
1513, 14mp3an3 1452 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
168, 12, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
177, 16mpbid 232 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
18 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(ϕ‘𝑁)))
1918oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → ((𝐴𝑛) − 1) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
2019breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑛 = (ϕ‘𝑁) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
2120rspcev 3622 . . . . . 6 (((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1))
226, 17, 21syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1))
23 rabn0 4389 . . . . 5 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1))
2422, 23sylibr 234 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ≠ ∅)
25 infssuzcl 12974 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)})
264, 24, 25sylancr 587 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)})
271, 26eqeltrd 2841 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)})
28 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑛 = ((od𝑁)‘𝐴) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)))
2928oveq1d 7446 . . . 4 (𝑛 = ((od𝑁)‘𝐴) → ((𝐴𝑛) − 1) = ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
3029breq2d 5155 . . 3 (𝑛 = ((od𝑁)‘𝐴) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
3130elrab 3692 . 2 (((od𝑁)‘𝐴) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ↔ (((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
3227, 31sylib 218 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cr 11154  1c1 11156   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878   mod cmo 13909  cexp 14102  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  odcodz 16800  ϕcphi 16801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-odz 16802  df-phi 16803
This theorem is referenced by:  odzcl  16831  odzid  16832
  Copyright terms: Public domain W3C validator