Theorem dvdivcncf 45923

Description: A sufficient condition for the derivative of a quotient to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivcncf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivcncf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivcncf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivcncf.fdv	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
dvdivcncf.gdv	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
dvdivcncf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Proof of Theorem dvdivcncf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivcncf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvdivcncf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvdivcncf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
4		dvdivcncf.fdv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
5		cncff 24842	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6		fdm 6720	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
8		dvdivcncf.gdv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
9		cncff 24842	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
10		fdm 6720	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
12	1, 2, 3, 7, 11	dvdivf 45918	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))
13		ax-resscn 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
14		sseq1 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
16		eqimss 4022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
18		elpri 4630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
19	1, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20		pm3.44 961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
21	17, 19, 20	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		difssd 4117	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
23	3, 22	fssd 6728	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
24		dvbsss 25860	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
25	7, 24	eqsstrrdi 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
26		dvcn 25880	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋) → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
27	21, 23, 25, 11, 26	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
28	4, 27	mulcncff 45866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
29		dvcn 25880	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
30	21, 2, 25, 7, 29	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
31	8, 30	mulcncff 45866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
32	28, 31	subcncff 45876	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33		eldifi 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
35		eldifi 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
37	34, 36	mulcld 11260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
38		eldifsni 4771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
40		eldifsni 4771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
41	40	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
42	34, 36, 39, 41	mulne0d 11894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
43		eldifsn 4767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
44	37, 42, 43	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
45	44	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
46	1, 25	ssexd 5299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
47		inidm 4207	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
48	45, 3, 3, 46, 46, 47	off 7694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
49	27, 27	mulcncff 45866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
50		cncfcdm 24847	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ)) → ((𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺 ∘f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
51	22, 49, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺 ∘f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
52	48, 51	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})))
53	32, 52	divcncff 45887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
54	12, 53	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  {csn 4606  {cpr 4608  dom cdm 5659  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134   · cmul 11139   − cmin 11471   / cdiv 11899  –cn→ccncf 24825   D cdv 25821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-t1 23257  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825

This theorem is referenced by:  fourierdlem58  46160  fourierdlem59  46161