Theorem dvdivcncf 42928

Description: A sufficient condition for the derivative of a quotient to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivcncf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivcncf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivcncf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivcncf.fdv	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
dvdivcncf.gdv	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
dvdivcncf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Proof of Theorem dvdivcncf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivcncf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvdivcncf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvdivcncf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
4		dvdivcncf.fdv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
5		cncff 23587	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6		fdm 6507	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
8		dvdivcncf.gdv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
9		cncff 23587	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
10		fdm 6507	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
12	1, 2, 3, 7, 11	dvdivf 42923	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))
13		ax-resscn 10625	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
14		sseq1 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
16		eqimss 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	15, 16	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
18		elpri 4545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
19	1, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20		pm3.44 958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
21	17, 19, 20	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		difssd 4039	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
23	3, 22	fssd 6514	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
24		dvbsss 24594	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
25	7, 24	eqsstrrdi 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
26		dvcn 24613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋) → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
27	21, 23, 25, 11, 26	syl31anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
28	4, 27	mulcncff 42871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
29		dvcn 24613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
30	21, 2, 25, 7, 29	syl31anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
31	8, 30	mulcncff 42871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
32	28, 31	subcncff 42881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33		eldifi 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
34	33	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
35		eldifi 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
36	35	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
37	34, 36	mulcld 10692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
38		eldifsni 4681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
39	38	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
40		eldifsni 4681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
41	40	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
42	34, 36, 39, 41	mulne0d 11323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
43		eldifsn 4678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
44	37, 42, 43	sylanbrc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
45	44	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
46	1, 25	ssexd 5195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
47		inidm 4124	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
48	45, 3, 3, 46, 46, 47	off 7423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
49	27, 27	mulcncff 42871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
50		cncffvrn 23592	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ)) → ((𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺 ∘f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
51	22, 49, 50	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺 ∘f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
52	48, 51	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})))
53	32, 52	divcncff 42892	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
54	12, 53	eqeltrd 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410   ∖ cdif 3856   ⊆ wss 3859  {csn 4523  {cpr 4525  dom cdm 5525  ⟶wf 6332  (class class class)co 7151   ∘_f cof 7404  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568   · cmul 10573   − cmin 10901   / cdiv 11328  –cn→ccncf 23570   D cdv 24555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-fi 8901  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-rest 16747  df-topn 16748  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-topgen 16768  df-pt 16769  df-prds 16772  df-xrs 16826  df-qtop 16831  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-mulg 18285  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-fbas 20156  df-fg 20157  df-cnfld 20160  df-top 21587  df-topon 21604  df-topsp 21626  df-bases 21639  df-cld 21712  df-ntr 21713  df-cls 21714  df-nei 21791  df-lp 21829  df-perf 21830  df-cn 21920  df-cnp 21921  df-t1 22007  df-haus 22008  df-tx 22255  df-hmeo 22448  df-fil 22539  df-fm 22631  df-flim 22632  df-flf 22633  df-xms 23015  df-ms 23016  df-tms 23017  df-cncf 23572  df-limc 24558  df-dv 24559

This theorem is referenced by:  fourierdlem58  43165  fourierdlem59  43166