Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivcncf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvdivcncf 45215
Description: A sufficient condition for the derivative of a quotient to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivcncf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvdivcncf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvdivcncf.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
dvdivcncf.fdv (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
dvdivcncf.gdv (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
dvdivcncf (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Proof of Theorem dvdivcncf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdivcncf.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvdivcncf.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
3 dvdivcncf.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
4 dvdivcncf.fdv . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5 cncff 24768 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
6 fdm 6720 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
74, 5, 63syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
8 dvdivcncf.gdv . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
9 cncff 24768 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
10 fdm 6720 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
118, 9, 103syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
121, 2, 3, 7, 11dvdivf 45210 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f βˆ’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f Β· 𝐺)))
13 ax-resscn 11169 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
14 sseq1 4002 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ↔ ℝ βŠ† β„‚))
1513, 14mpbiri 258 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
16 eqimss 4035 . . . . . . . 8 (𝑆 = β„‚ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1715, 16pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((𝑆 = ℝ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚) ∧ (𝑆 = β„‚ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚))
18 elpri 4645 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
191, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
20 pm3.44 956 . . . . . . 7 (((𝑆 = ℝ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚) ∧ (𝑆 = β„‚ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)) β†’ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚))
2117, 19, 20mpsyl 68 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
22 difssd 4127 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
233, 22fssd 6729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
24 dvbsss 25786 . . . . . . 7 dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆
257, 24eqsstrrdi 4032 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
26 dvcn 25806 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
2721, 23, 25, 11, 26syl31anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
284, 27mulcncff 45158 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
29 dvcn 25806 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
3021, 2, 25, 7, 29syl31anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
318, 30mulcncff 45158 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
3228, 31subcncff 45168 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f βˆ’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
33 eldifi 4121 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
35 eldifi 4121 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3635adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3734, 36mulcld 11238 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
38 eldifsni 4788 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ π‘₯ β‰  0)
3938adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ β‰  0)
40 eldifsni 4788 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 β‰  0)
4140adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝑦 β‰  0)
4234, 36, 39, 41mulne0d 11870 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  0)
43 eldifsn 4785 . . . . . . 7 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) β‰  0))
4437, 42, 43sylanbrc 582 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
4544adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
461, 25ssexd 5317 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
47 inidm 4213 . . . . 5 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
4845, 3, 3, 46, 46, 47off 7685 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺):π‘‹βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
4927, 27mulcncff 45158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
50 cncfcdm 24773 . . . . 5 (((β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ ∧ (𝐺 ∘f Β· 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝐺 ∘f Β· 𝐺):π‘‹βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})))
5122, 49, 50syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝐺 ∘f Β· 𝐺):π‘‹βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})))
5248, 51mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺) ∈ (𝑋–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
5332, 52divcncff 45179 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f βˆ’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
5412, 53eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) ∈ (𝑋–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β€“cnβ†’ccncf 24751   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-t1 23173  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  fourierdlem58  45452  fourierdlem59  45453
  Copyright terms: Public domain W3C validator