Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdivcncf 42096
Description: A sufficient condition for the derivative of a quotient to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivcncf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivcncf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivcncf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivcncf.fdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
dvdivcncf.gdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
dvdivcncf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f / 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))

Proof of Theorem dvdivcncf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdivcncf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvdivcncf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvdivcncf.g . . 3 (𝜑𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
4 dvdivcncf.fdv . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5 cncff 23435 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6 fdm 6521 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
8 dvdivcncf.gdv . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
9 cncff 23435 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
10 fdm 6521 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
118, 9, 103syl 18 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
121, 2, 3, 7, 11dvdivf 42091 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺f · 𝐺)))
13 ax-resscn 10588 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
14 sseq1 3996 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
1513, 14mpbiri 259 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
16 eqimss 4027 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
1715, 16pm3.2i 471 . . . . . . 7 ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
18 elpri 4586 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
191, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20 pm3.44 955 . . . . . . 7 (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
2117, 19, 20mpsyl 68 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
22 difssd 4113 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
233, 22fssd 6527 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
24 dvbsss 24434 . . . . . . 7 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
257, 24eqsstrrdi 4026 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
26 dvcn 24452 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋) → 𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
2721, 23, 25, 11, 26syl31anc 1367 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
284, 27mulcncff 42035 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
29 dvcn 24452 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
3021, 2, 25, 7, 29syl31anc 1367 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
318, 30mulcncff 42035 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
3228, 31subcncff 42047 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
33 eldifi 4107 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
35 eldifi 4107 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
3635adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
3734, 36mulcld 10655 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
38 eldifsni 4721 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
40 eldifsni 4721 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
4140adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
4234, 36, 39, 41mulne0d 11286 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
43 eldifsn 4718 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
4437, 42, 43sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
4544adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
461, 25ssexd 5225 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
47 inidm 4199 . . . . 5 (𝑋𝑋) = 𝑋
4845, 3, 3, 46, 46, 47off 7418 . . . 4 (𝜑 → (𝐺f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
4927, 27mulcncff 42035 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺f · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
50 cncffvrn 23440 . . . . 5 (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝐺f · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ)) → ((𝐺f · 𝐺) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
5122, 49, 50syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺f · 𝐺) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
5248, 51mpbird 258 . . 3 (𝜑 → (𝐺f · 𝐺) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})))
5332, 52divcncff 42058 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺f · 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5412, 53eqeltrd 2918 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f / 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  Vcvv 3500  cdif 3937  wss 3940  {csn 4564  {cpr 4566  dom cdm 5554  wf 6350  (class class class)co 7150  f cof 7401  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536  cmin 10864   / cdiv 11291  cnccncf 23418   D cdv 24395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-t1 21857  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399
This theorem is referenced by:  fourierdlem58  42334  fourierdlem59  42335
  Copyright terms: Public domain W3C validator