Theorem dvdivcncf 46621

Description: A sufficient condition for the derivative of a quotient to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivcncf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivcncf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivcncf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivcncf.fdv	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
dvdivcncf.gdv	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
dvdivcncf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Proof of Theorem dvdivcncf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivcncf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvdivcncf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvdivcncf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
4		dvdivcncf.fdv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
5		cncff 25033	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6		fdm 6717	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
7	4, 5, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
8		dvdivcncf.gdv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
9		cncff 25033	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
10		fdm 6717	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
11	8, 9, 10	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
12	1, 2, 3, 7, 11	dvdivf 46616	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))
13		ax-resscn 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
14		sseq1 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
16		eqimss 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	15, 16	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
18		elpri 4614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
19	1, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20		pm3.44 974	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
21	17, 19, 20	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		difssd 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
23	3, 22	fssd 6725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
24		dvbsss 26042	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
25	7, 24	eqsstrrdi 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
26		dvcn 26061	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋) → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
27	21, 23, 25, 11, 26	syl31anc 1400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
28	4, 27	mulcncff 46564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
29		dvcn 26061	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
30	21, 2, 25, 7, 29	syl31anc 1400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
31	8, 30	mulcncff 46564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
32	28, 31	subcncff 46574	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33		eldifi 4086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
34	33	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
35		eldifi 4086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
36	35	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
37	34, 36	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
38		eldifsni 4759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
39	38	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
40		eldifsni 4759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
41	40	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
42	34, 36, 39, 41	mulne0d 11867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
43		eldifsn 4754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
44	37, 42, 43	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
45	44	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
46	1, 25	ssexd 5296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
47		inidm 4180	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
48	45, 3, 3, 46, 46, 47	off 7694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
49	27, 27	mulcncff 46564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
50		cncfcdm 25038	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ)) → ((𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺 ∘f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
51	22, 49, 50	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺 ∘f · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
52	48, 51	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})))
53	32, 52	divcncff 46585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
54	12, 53	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4590  {cpr 4592  dom cdm 5663  ⟶wf 6534  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106   − cmin 11442   / cdiv 11872  –cn→ccncf 25016   D cdv 26003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-t1 23452  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007

This theorem is referenced by:  fourierdlem58  46858  fourierdlem59  46859