Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdivcncf 40780
Description: A sufficient condition for the derivative of a quotient to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivcncf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivcncf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivcncf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivcncf.fdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
dvdivcncf.gdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
dvdivcncf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 / 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))

Proof of Theorem dvdivcncf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdivcncf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvdivcncf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvdivcncf.g . . 3 (𝜑𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
4 dvdivcncf.fdv . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5 cncff 22975 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6 fdm 6231 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
8 dvdivcncf.gdv . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
9 cncff 22975 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
10 fdm 6231 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
118, 9, 103syl 18 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
121, 2, 3, 7, 11dvdivf 40775 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 − ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) ∘𝑓 / (𝐺𝑓 · 𝐺)))
13 ax-resscn 10246 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
14 sseq1 3786 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
1513, 14mpbiri 249 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
16 eqimss 3817 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
1715, 16pm3.2i 462 . . . . . . 7 ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
18 elpri 4356 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
191, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20 pm3.44 982 . . . . . . 7 (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
2117, 19, 20mpsyl 68 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
22 difssd 3900 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
233, 22fssd 6237 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
24 dvbsss 23957 . . . . . . 7 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
257, 24syl6eqssr 3816 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
26 dvcn 23975 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋) → 𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
2721, 23, 25, 11, 26syl31anc 1492 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
284, 27mulcncff 40719 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
29 dvcn 23975 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
3021, 2, 25, 7, 29syl31anc 1492 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
318, 30mulcncff 40719 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
3228, 31subcncff 40731 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 − ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
33 eldifi 3894 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℂ)
3433adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
35 eldifi 3894 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
3635adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
3734, 36mulcld 10314 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
38 eldifsni 4476 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
3938adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
40 eldifsni 4476 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
4140adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
4234, 36, 39, 41mulne0d 10933 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
43 eldifsn 4472 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
4437, 42, 43sylanbrc 578 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
4544adantl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
461, 25ssexd 4966 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
47 inidm 3982 . . . . 5 (𝑋𝑋) = 𝑋
4845, 3, 3, 46, 46, 47off 7110 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
4927, 27mulcncff 40719 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
50 cncffvrn 22980 . . . . 5 (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ)) → ((𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺𝑓 · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
5122, 49, 50syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐺𝑓 · 𝐺):𝑋⟶(ℂ ∖ {0})))
5248, 51mpbird 248 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐺) ∈ (𝑋cn→(ℂ ∖ {0})))
5332, 52divcncff 40742 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 − ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) ∘𝑓 / (𝐺𝑓 · 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5412, 53eqeltrd 2844 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 / 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  {csn 4334  {cpr 4336  dom cdm 5277  wf 6064  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194  cmin 10520   / cdiv 10938  cnccncf 22958   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-t1 21398  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  fourierdlem58  41018  fourierdlem59  41019
  Copyright terms: Public domain W3C validator