MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmul 16819
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcmul ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))

Proof of Theorem pcmul
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
2 eqid 2728 . . 3 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < )
3 eqid 2728 . . 3 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < )
41, 2, 3pcpremul 16811 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) + sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < )) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ))
51pczpre 16815 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
653adant3 1130 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
72pczpre 16815 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < ))
873adant2 1129 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < ))
96, 8oveq12d 7438 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = (sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) + sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐ต}, โ„, < )))
10 zmulcl 12641 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
1110ad2ant2r 746 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
12 zcn 12593 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1312anim1i 614 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
14 zcn 12593 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514anim1i 614 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
16 mulne0 11886 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0)
1713, 15, 16syl2an 595 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0)
1811, 17jca 511 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0))
193pczpre 16815 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ))
2018, 19sylan2 592 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ))
21203impb 1113 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐ด ยท ๐ต)}, โ„, < ))
224, 9, 213eqtr4rd 2779 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  {crab 3429   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  supcsup 9463  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ†‘cexp 14058   โˆฅ cdvds 16230  โ„™cprime 16641   pCnt cpc 16804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-pc 16805
This theorem is referenced by:  pcqmul  16821  pcaddlem  16856  pcmpt  16860  pcfac  16867  pcbc  16868  sylow1lem1  19552  sylow1lem5  19556  mumullem2  27111  chtublem  27143  lgsdi  27266  aks6d1c2p2  41590
  Copyright terms: Public domain W3C validator