Theorem pcmul 16781

Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcmul	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))

Proof of Theorem pcmul

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < )
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < )
4	1, 2, 3	pcpremul 16773	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
5	1	pczpre 16777	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
6	5	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
7	2	pczpre 16777	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
8	7	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
9	6, 8	oveq12d 7371	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )))
10		zmulcl 12542	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
11	10	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
12		zcn 12494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
14		zcn 12494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
16		mulne0 11780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
17	13, 15, 16	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
18	11, 17	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
19	3	pczpre 16777	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
20	18, 19	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
21	20	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
22	4, 9, 21	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3396   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  supcsup 9349  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ↑cexp 13986   ∥ cdvds 16181  ℙcprime 16600   pCnt cpc 16766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-pc 16767

This theorem is referenced by:  pcqmul  16783  pcaddlem  16818  pcmpt  16822  pcfac  16829  pcbc  16830  sylow1lem1  19495  sylow1lem5  19499  mumullem2  27106  chtublem  27138  lgsdi  27261  aks6d1c2p2  42092