Theorem pcmul 16773

Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcmul	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))

Proof of Theorem pcmul

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < )
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < )
4	1, 2, 3	pcpremul 16765	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
5	1	pczpre 16769	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
6	5	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
7	2	pczpre 16769	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
8	7	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
9	6, 8	oveq12d 7373	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )))
10		zmulcl 12531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
11	10	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
12		zcn 12483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
14		zcn 12483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
16		mulne0 11769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
17	13, 15, 16	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
18	11, 17	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
19	3	pczpre 16769	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
20	18, 19	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
21	20	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
22	4, 9, 21	3eqtr4rd 2779	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {crab 3397   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  supcsup 9334  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016   + caddc 11019   · cmul 11021   < clt 11156  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ↑cexp 13978   ∥ cdvds 16173  ℙcprime 16592   pCnt cpc 16758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-dvds 16174  df-gcd 16416  df-prm 16593  df-pc 16759

This theorem is referenced by:  pcqmul  16775  pcaddlem  16810  pcmpt  16814  pcfac  16821  pcbc  16822  sylow1lem1  19520  sylow1lem5  19524  mumullem2  27127  chtublem  27159  lgsdi  27282  aks6d1c2p2  42222