MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmul 16404
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcmul ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))

Proof of Theorem pcmul
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < )
2 eqid 2737 . . 3 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )
3 eqid 2737 . . 3 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < )
41, 2, 3pcpremul 16396 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
51pczpre 16400 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
653adant3 1134 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
72pczpre 16400 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
873adant2 1133 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < ))
96, 8oveq12d 7231 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)) = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐴}, ℝ, < ) + sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝐵}, ℝ, < )))
10 zmulcl 12226 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
1110ad2ant2r 747 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
12 zcn 12181 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1312anim1i 618 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
14 zcn 12181 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1514anim1i 618 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
16 mulne0 11474 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
1713, 15, 16syl2an 599 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
1811, 17jca 515 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
193pczpre 16400 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
2018, 19sylan2 596 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
21203impb 1117 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝐴 · 𝐵)}, ℝ, < ))
224, 9, 213eqtr4rd 2788 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  {crab 3065   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  supcsup 9056  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  0cn0 12090  cz 12176  cexp 13635  cdvds 15815  cprime 16228   pCnt cpc 16389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-pc 16390
This theorem is referenced by:  pcqmul  16406  pcaddlem  16441  pcmpt  16445  pcfac  16452  pcbc  16453  sylow1lem1  18987  sylow1lem5  18991  mumullem2  26062  chtublem  26092  lgsdi  26215
  Copyright terms: Public domain W3C validator