Theorem prmo6 17192

Description: The primorial of 6. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmo6	⊢ (#p‘6) = ;30

Proof of Theorem prmo6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12332	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2		prmonn2 17101	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℕ → (#p‘6) = if(6 ∈ ℙ, ((#p‘(6 − 1)) · 6), (#p‘(6 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘6) = if(6 ∈ ℙ, ((#p‘(6 − 1)) · 6), (#p‘(6 − 1)))
4		6nprm 17171	. . . 4 ⊢ ¬ 6 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4502	. . 3 ⊢ if(6 ∈ ℙ, ((#p‘(6 − 1)) · 6), (#p‘(6 − 1))) = (#p‘(6 − 1))
6	3, 5	eqtri 2792	. 2 ⊢ (#p‘6) = (#p‘(6 − 1))
7		6m1e5 12373	. . . 4 ⊢ (6 − 1) = 5
8	7	fveq2i 6887	. . 3 ⊢ (#p‘(6 − 1)) = (#p‘5)
9		prmo5 17191	. . 3 ⊢ (#p‘5) = ;30
10	8, 9	eqtri 2792	. 2 ⊢ (#p‘(6 − 1)) = ;30
11	6, 10	eqtri 2792	1 ⊢ (#p‘6) = ;30

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ifcif 4492  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0cc0 11102  1c1 11103   · cmul 11107   − cmin 11443  ℕcn 12235  3c3 12298  5c5 12300  6c6 12301  ;cdc 12713  ℙcprime 16731  #_pcprmo 17093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-rp 13019  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-prod 15960  df-dvds 16313  df-prm 16732  df-prmo 17094

This theorem is referenced by:  ex-prmo  30753