Theorem prmo6 16201

Description: The primorial of 6. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmo6	⊢ (#p‘6) = ;30

Proof of Theorem prmo6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 11442	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2		prmonn2 16113	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℕ → (#p‘6) = if(6 ∈ ℙ, ((#p‘(6 − 1)) · 6), (#p‘(6 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (#p‘6) = if(6 ∈ ℙ, ((#p‘(6 − 1)) · 6), (#p‘(6 − 1)))
4		6nprm 16181	. . . 4 ⊢ ¬ 6 ∈ ℙ
5	4	iffalsei 4315	. . 3 ⊢ if(6 ∈ ℙ, ((#p‘(6 − 1)) · 6), (#p‘(6 − 1))) = (#p‘(6 − 1))
6	3, 5	eqtri 2848	. 2 ⊢ (#p‘6) = (#p‘(6 − 1))
7		5p1e6 11504	. . . . 5 ⊢ (5 + 1) = 6
8		6cn 11444	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
9		ax-1cn 10309	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		5cn 11440	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
11	8, 9, 10	subadd2i 10689	. . . . 5 ⊢ ((6 − 1) = 5 ↔ (5 + 1) = 6)
12	7, 11	mpbir 223	. . . 4 ⊢ (6 − 1) = 5
13	12	fveq2i 6435	. . 3 ⊢ (#p‘(6 − 1)) = (#p‘5)
14		prmo5 16200	. . 3 ⊢ (#p‘5) = ;30
15	13, 14	eqtri 2848	. 2 ⊢ (#p‘(6 − 1)) = ;30
16	6, 15	eqtri 2848	1 ⊢ (#p‘6) = ;30

Syntax hints:   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ifcif 4305  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254   · cmul 10256   − cmin 10584  ℕcn 11349  3c3 11406  5c5 11408  6c6 11409  ;cdc 11820  ℙcprime 15756  #_pcprmo 16105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-rp 12112  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-prod 15008  df-dvds 15357  df-prm 15757  df-prmo 16106

This theorem is referenced by:  ex-prmo  27873