Theorem prmo5 16464

Description: The primorial of 5. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmo5	⊢ (#p‘5) = ;30

Proof of Theorem prmo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 11726	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		prmonn2 16377	. . 3 ⊢ (5 ∈ ℕ → (#p‘5) = if(5 ∈ ℙ, ((#p‘(5 − 1)) · 5), (#p‘(5 − 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (#p‘5) = if(5 ∈ ℙ, ((#p‘(5 − 1)) · 5), (#p‘(5 − 1)))
4		5prm 16444	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℙ
5	4	iftruei 4476	. . 3 ⊢ if(5 ∈ ℙ, ((#p‘(5 − 1)) · 5), (#p‘(5 − 1))) = ((#p‘(5 − 1)) · 5)
6		5m1e4 11770	. . . . . . 7 ⊢ (5 − 1) = 4
7	6	fveq2i 6675	. . . . . 6 ⊢ (#p‘(5 − 1)) = (#p‘4)
8		prmo4 16463	. . . . . 6 ⊢ (#p‘4) = 6
9	7, 8	eqtri 2846	. . . . 5 ⊢ (#p‘(5 − 1)) = 6
10	9	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ ((#p‘(5 − 1)) · 5) = (6 · 5)
11		6t5e30 12208	. . . 4 ⊢ (6 · 5) = ;30
12	10, 11	eqtri 2846	. . 3 ⊢ ((#p‘(5 − 1)) · 5) = ;30
13	5, 12	eqtri 2846	. 2 ⊢ if(5 ∈ ℙ, ((#p‘(5 − 1)) · 5), (#p‘(5 − 1))) = ;30
14	3, 13	eqtri 2846	1 ⊢ (#p‘5) = ;30

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ifcif 4469  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   − cmin 10872  ℕcn 11640  3c3 11696  4c4 11697  5c5 11698  6c6 11699  ;cdc 12101  ℙcprime 16017  #_pcprmo 16369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-prod 15262  df-dvds 15610  df-prm 16018  df-prmo 16370

This theorem is referenced by:  prmo6  16465