Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarclsiin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarclsiin 33381
Description: In a Zariski topology, the intersection of the closures of a family of ideals is the closure of the span of their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
zarclsiin.1 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zarclsiin ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) = (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑖,𝑗,𝑙   𝑉,𝑙   𝑖,𝐾,𝑗,𝑙   𝑇,𝑖,𝑗,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarclsiin
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 4003 . . . . 5 (𝑗 = 𝑝 → ((𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
2 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑇 ≠ ∅)
3 zarclsx.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
5 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑙 → (𝑖𝑗𝑙𝑗))
65rabbidv 3434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑙 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
76adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
8 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
98sselda 3977 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . 13 (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
1110rabex 5325 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V)
134, 7, 9, 12fvmptd 6999 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
14 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅)
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
1613, 15eqsstrd 4015 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
1716sseld 3976 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑝 ∈ (𝑉𝑙) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
1817ralimdva 3161 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
19 eliin 4995 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ V → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
2019elv 3474 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
2120biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
2218, 21impel 505 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
23 rspn0 4347 . . . . . . 7 (𝑇 ≠ ∅ → (∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
2423imp 406 . . . . . 6 ((𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
252, 22, 24syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
26 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
2726adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑅 ∈ Ring)
28 prmidlidl 33068 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2927, 25, 28syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
30 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑙(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅)
31 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 𝑙𝑝
32 nfii1 5025 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)
3331, 32nfel 2911 . . . . . . . . 9 𝑙 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)
3430, 33nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑙((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙))
3521a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
3635imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑇)
39 rspa 3239 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
4037, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
4113adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
4240, 41eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
43 sseq2 4003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑝 → (𝑙𝑗𝑙𝑝))
4443elrab 3678 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙𝑝))
4542, 44sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙𝑝))
4645simprd 495 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑝)
4746ex 412 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝑙𝑇𝑙𝑝))
4834, 47ralrimi 3248 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑙𝑝)
49 unissb 4936 . . . . . . 7 ( 𝑇𝑝 ↔ ∀𝑙𝑇 𝑙𝑝)
5048, 49sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑇𝑝)
51 zarclsiin.1 . . . . . . 7 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
52 eqid 2726 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5351, 52rspssp 21098 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇𝑝) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
5427, 29, 50, 53syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
551, 25, 54elrabd 3680 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
563a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
57 sseq1 4002 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐾 𝑇) → (𝑖𝑗 ↔ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗))
5857rabbidv 3434 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐾 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
5958adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 = (𝐾 𝑇)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
608sselda 3977 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑇) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
61 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6261, 52lidlss 21071 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑇) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6463ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑖𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
65 unissb 4936 . . . . . . . . 9 ( 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6664, 65sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
6751, 61, 52rspcl 21094 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
6826, 66, 67syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝐾 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
6910rabex 5325 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V)
7156, 59, 68, 70fvmptd 6999 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑉‘(𝐾 𝑇)) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
7271eleq2d 2813 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗}))
7372adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗}))
7455, 73mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
7572biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
761elrab 3678 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
7775, 76sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
7877simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
7978adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80 elssuni 4934 . . . . . . . . . 10 (𝑙𝑇𝑙 𝑇)
8180adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 𝑇)
82 simpll 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅))
8351, 61rspssid 21095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8426, 66, 83syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8582, 84syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8681, 85sstrd 3987 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ⊆ (𝐾 𝑇))
8777simprd 495 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
8887adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
8986, 88sstrd 3987 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑝)
9043, 79, 89elrabd 3680 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
9291sselda 3977 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
933a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
946adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
95 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9611a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V)
9793, 94, 95, 96fvmptd 6999 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
9882, 92, 97syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
9990, 98eleqtrrd 2830 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
10099ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
10120a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
102100, 101mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙))
10374, 102impbida 798 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))))
104103eqrdv 2724 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) = (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  wss 3943  c0 4317   cuni 4902   ciin 4991  cmpt 5224  cfv 6537  Basecbs 17153  Ringcrg 20138  LIdealclidl 21065  RSpancrsp 21066  PrmIdealcprmidl 33059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-prmidl 33060
This theorem is referenced by:  zarclsint  33382  zarcmplem  33391
  Copyright terms: Public domain W3C validator