Theorem zarclsiin 33977

Description: In a Zariski topology, the intersection of the closures of a family of ideals is the closure of the span of their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarclsiin.1	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarclsiin	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑖,𝑗,𝑙   𝑉,𝑙   𝑖,𝐾,𝑗,𝑙   𝑇,𝑖,𝑗,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarclsiin

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3958	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
2		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑇 ≠ ∅)
3		zarclsx.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
5		sseq1 3957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑙 ⊆ 𝑗))
6	5	rabbidv 3404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
8		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
9	8	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		fvex 6845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
11	10	rabex 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V)
13	4, 7, 9, 12	fvmptd 6946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
14		ssrab2 4030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
16	13, 15	eqsstrd 3966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
17	16	sseld 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
18	17	ralimdva 3146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
19		eliin 4949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ V → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
20	19	elv 3443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
21	20	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
22	18, 21	impel 505	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
23		rspn0 4306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ → (∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
24	23	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
25	2, 22, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
26		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		prmidlidl 33474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29	27, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
30		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅)
31		nfcv 2896	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝑝
32		nfii1 4982	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)
33	31, 32	nfel 2911	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)
34	30, 33	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙))
35	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
36	35	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ 𝑇)
39		rspa 3223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
41	13	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
42	40, 41	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
43		sseq2 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝑙 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑙 ⊆ 𝑝))
44	43	elrab 3644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙 ⊆ 𝑝))
45	42, 44	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙 ⊆ 𝑝))
46	45	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ 𝑝)
47	46	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝑙 ∈ 𝑇 → 𝑙 ⊆ 𝑝))
48	34, 47	ralrimi 3232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑙 ⊆ 𝑝)
49		unissb 4894	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ 𝑝 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑙 ⊆ 𝑝)
50	48, 49	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∪ 𝑇 ⊆ 𝑝)
51		zarclsiin.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
52		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
53	51, 52	rspssp 21192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ∪ 𝑇 ⊆ 𝑝) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
54	27, 29, 50, 53	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
55	1, 25, 54	elrabd 3646	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
56	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
57		sseq1 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇) → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗))
58	57	rabbidv 3404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
59	58	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
60	8	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
61		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62	61, 52	lidlss 21165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
64	63	ralrimiva 3126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
65		unissb 4894	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
66	64, 65	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
67	51, 61, 52	rspcl 21188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾‘∪ 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
68	26, 66, 67	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝐾‘∪ 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
69	10	rabex 5282	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V)
71	56, 59, 68, 70	fvmptd 6946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
72	71	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗}))
73	72	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗}))
74	55, 73	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))
75	72	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
76	1	elrab 3644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
77	75, 76	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
78	77	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
79	78	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80		elssuni 4892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑇 → 𝑙 ⊆ ∪ 𝑇)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ ∪ 𝑇)
82		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅))
83	51, 61	rspssid 21189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
84	26, 66, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
85	82, 84	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
86	81, 85	sstrd 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
87	77	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
88	87	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
89	86, 88	sstrd 3942	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ 𝑝)
90	43, 79, 89	elrabd 3646	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
91	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
92	91	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
93	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
94	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
95		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
96	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V)
97	93, 94, 95, 96	fvmptd 6946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
98	82, 92, 97	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
99	90, 98	eleqtrrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
100	99	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
101	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
102	100, 101	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙))
103	74, 102	impbida 800	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))))
104	103	eqrdv 2732	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  {crab 3397  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ∪ cuni 4861  ∩ ciin 4945   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  Ringcrg 20166  LIdealclidl 21159  RSpancrsp 21160  PrmIdealcprmidl 33465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-lidl 21161  df-rsp 21162  df-prmidl 33466

This theorem is referenced by:  zarclsint  33978  zarcmplem  33987