Theorem zarclsiin 34055

Description: In a Zariski topology, the intersection of the closures of a family of ideals is the closure of the span of their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarclsiin.1	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarclsiin	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑖,𝑗,𝑙   𝑉,𝑙   𝑖,𝐾,𝑗,𝑙   𝑇,𝑖,𝑗,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarclsiin

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
2		simpl3 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑇 ≠ ∅)
3		zarclsx.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
5		sseq1 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑙 ⊆ 𝑗))
6	5	rabbidv 3398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
8		simp2 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
9	8	sselda 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		fvex 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
11	10	rabex 5267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V)
13	4, 7, 9, 12	fvmptd 6943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
14		ssrab2 4011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
16	13, 15	eqsstrd 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
17	16	sseld 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
18	17	ralimdva 3151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
19		eliin 4926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ V → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
20	19	elv 3436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
21	20	biimpi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
22	18, 21	impel 510	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
23		rspn0 4284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ → (∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
24	23	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
25	2, 22, 24	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
26		simp1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
27	26	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		prmidlidl 33527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29	27, 25, 28	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
30		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅)
31		nfcv 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝑝
32		nfii1 4958	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)
33	31, 32	nfel 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)
34	30, 33	nfan 1906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙))
35	20	bilani 505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
37		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ 𝑇)
38		rspa 3228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
39	36, 37, 38	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
40	13	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
41	39, 40	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
42		sseq2 3941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝑙 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑙 ⊆ 𝑝))
43	42	elrab 3629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙 ⊆ 𝑝))
44	41, 43	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙 ⊆ 𝑝))
45	44	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ 𝑝)
46	45	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝑙 ∈ 𝑇 → 𝑙 ⊆ 𝑝))
47	34, 46	ralrimi 3237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑙 ⊆ 𝑝)
48		unissb 4871	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ 𝑝 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑙 ⊆ 𝑝)
49	47, 48	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∪ 𝑇 ⊆ 𝑝)
50		zarclsiin.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
51		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
52	50, 51	rspssp 21232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ∪ 𝑇 ⊆ 𝑝) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
53	27, 29, 49, 52	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
54	1, 25, 53	elrabd 3631	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
55	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
56		sseq1 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇) → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗))
57	56	rabbidv 3398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
58	57	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
59	8	sselda 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
60		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61	60, 51	lidlss 21205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
63	62	ralrimiva 3131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
64		unissb 4871	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
65	63, 64	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
66	50, 60, 51	rspcl 21228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾‘∪ 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
67	26, 65, 66	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝐾‘∪ 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
68	10	rabex 5267	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V)
70	55, 58, 67, 69	fvmptd 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
71	70	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗}))
72	71	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗}))
73	54, 72	mpbird 258	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))
74	71	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
75	1	elrab 3629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
76	74, 75	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
77	76	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
78	77	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
79		elssuni 4869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑇 → 𝑙 ⊆ ∪ 𝑇)
80	79	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ ∪ 𝑇)
81		simpll 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅))
82	50, 60	rspssid 21229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
83	26, 65, 82	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
84	81, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
85	80, 84	sstrd 3925	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
86	76	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
87	86	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
88	85, 87	sstrd 3925	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ 𝑝)
89	42, 78, 88	elrabd 3631	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
90	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
91	90	sselda 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
92	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
93	6	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
94		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
95	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V)
96	92, 93, 94, 95	fvmptd 6943	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
97	81, 91, 96	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
98	89, 97	eleqtrrd 2842	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
99	98	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
100	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
101	99, 100	mpbird 258	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙))
102	73, 101	impbida 806	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))))
103	102	eqrdv 2737	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ∪ cuni 4838  ∩ ciin 4922   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  Ringcrg 20205  LIdealclidl 21199  RSpancrsp 21200  PrmIdealcprmidl 33518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-rsp 21202  df-prmidl 33519

This theorem is referenced by:  zarclsint  34056  zarcmplem  34065