Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarclsiin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarclsiin 33529
Description: In a Zariski topology, the intersection of the closures of a family of ideals is the closure of the span of their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
zarclsiin.1 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zarclsiin ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) = (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑖,𝑗,𝑙   𝑉,𝑙   𝑖,𝐾,𝑗,𝑙   𝑇,𝑖,𝑗,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarclsiin
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3999 . . . . 5 (𝑗 = 𝑝 → ((𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
2 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑇 ≠ ∅)
3 zarclsx.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
5 sseq1 3998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑙 → (𝑖𝑗𝑙𝑗))
65rabbidv 3427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑙 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
76adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
8 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
98sselda 3972 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
1110rabex 5329 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V)
134, 7, 9, 12fvmptd 7007 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
14 ssrab2 4069 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅)
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
1613, 15eqsstrd 4011 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
1716sseld 3971 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑝 ∈ (𝑉𝑙) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
1817ralimdva 3157 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
19 eliin 4996 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ V → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
2019elv 3469 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
2120biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
2218, 21impel 504 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
23 rspn0 4348 . . . . . . 7 (𝑇 ≠ ∅ → (∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
2423imp 405 . . . . . 6 ((𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
252, 22, 24syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
26 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
2726adantr 479 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑅 ∈ Ring)
28 prmidlidl 33209 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2927, 25, 28syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
30 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑙(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅)
31 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑙𝑝
32 nfii1 5027 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)
3331, 32nfel 2907 . . . . . . . . 9 𝑙 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)
3430, 33nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑙((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙))
3521a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
3635imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
38 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑇)
39 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
4037, 38, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
4113adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
4240, 41eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
43 sseq2 3999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑝 → (𝑙𝑗𝑙𝑝))
4443elrab 3674 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙𝑝))
4542, 44sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙𝑝))
4645simprd 494 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑝)
4746ex 411 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝑙𝑇𝑙𝑝))
4834, 47ralrimi 3245 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑙𝑝)
49 unissb 4937 . . . . . . 7 ( 𝑇𝑝 ↔ ∀𝑙𝑇 𝑙𝑝)
5048, 49sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑇𝑝)
51 zarclsiin.1 . . . . . . 7 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
52 eqid 2725 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5351, 52rspssp 21139 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇𝑝) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
5427, 29, 50, 53syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
551, 25, 54elrabd 3676 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
563a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
57 sseq1 3998 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐾 𝑇) → (𝑖𝑗 ↔ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗))
5857rabbidv 3427 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐾 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
5958adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 = (𝐾 𝑇)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
608sselda 3972 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑇) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
61 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6261, 52lidlss 21112 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑇) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6463ralrimiva 3136 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑖𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
65 unissb 4937 . . . . . . . . 9 ( 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6664, 65sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
6751, 61, 52rspcl 21135 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
6826, 66, 67syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝐾 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
6910rabex 5329 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V)
7156, 59, 68, 70fvmptd 7007 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑉‘(𝐾 𝑇)) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
7271eleq2d 2811 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗}))
7372adantr 479 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗}))
7455, 73mpbird 256 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
7572biimpa 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
761elrab 3674 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
7775, 76sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
7877simpld 493 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
7978adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80 elssuni 4935 . . . . . . . . . 10 (𝑙𝑇𝑙 𝑇)
8180adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 𝑇)
82 simpll 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅))
8351, 61rspssid 21136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8426, 66, 83syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8582, 84syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8681, 85sstrd 3983 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ⊆ (𝐾 𝑇))
8777simprd 494 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
8887adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
8986, 88sstrd 3983 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑝)
9043, 79, 89elrabd 3676 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
918adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
9291sselda 3972 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
933a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
946adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
95 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9611a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V)
9793, 94, 95, 96fvmptd 7007 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
9882, 92, 97syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
9990, 98eleqtrrd 2828 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
10099ralrimiva 3136 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
10120a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
102100, 101mpbird 256 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙))
10374, 102impbida 799 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))))
104103eqrdv 2723 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) = (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463  wss 3939  c0 4318   cuni 4903   ciin 4992  cmpt 5226  cfv 6543  Basecbs 17179  Ringcrg 20177  LIdealclidl 21106  RSpancrsp 21107  PrmIdealcprmidl 33200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-prmidl 33201
This theorem is referenced by:  zarclsint  33530  zarcmplem  33539
  Copyright terms: Public domain W3C validator