Theorem zarclsiin 33838

Description: In a Zariski topology, the intersection of the closures of a family of ideals is the closure of the span of their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarclsiin.1	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarclsiin	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑖,𝑗,𝑙   𝑉,𝑙   𝑖,𝐾,𝑗,𝑙   𝑇,𝑖,𝑗,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarclsiin

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3962	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
2		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑇 ≠ ∅)
3		zarclsx.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
5		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑙 ⊆ 𝑗))
6	5	rabbidv 3402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
8		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
9	8	sselda 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
11	10	rabex 5278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V)
13	4, 7, 9, 12	fvmptd 6937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
14		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
16	13, 15	eqsstrd 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
17	16	sseld 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
18	17	ralimdva 3141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
19		eliin 4946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ V → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
20	19	elv 3441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
21	20	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
22	18, 21	impel 505	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
23		rspn0 4307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ → (∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
24	23	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
25	2, 22, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
26		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		prmidlidl 33381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29	27, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
30		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅)
31		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝑝
32		nfii1 4979	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)
33	31, 32	nfel 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)
34	30, 33	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙))
35	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
36	35	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ 𝑇)
39		rspa 3218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
41	13	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
42	40, 41	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
43		sseq2 3962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝑙 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑙 ⊆ 𝑝))
44	43	elrab 3648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙 ⊆ 𝑝))
45	42, 44	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙 ⊆ 𝑝))
46	45	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ 𝑝)
47	46	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝑙 ∈ 𝑇 → 𝑙 ⊆ 𝑝))
48	34, 47	ralrimi 3227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑙 ⊆ 𝑝)
49		unissb 4890	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ 𝑝 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑙 ⊆ 𝑝)
50	48, 49	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∪ 𝑇 ⊆ 𝑝)
51		zarclsiin.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
52		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
53	51, 52	rspssp 21146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ∪ 𝑇 ⊆ 𝑝) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
54	27, 29, 50, 53	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
55	1, 25, 54	elrabd 3650	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
56	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
57		sseq1 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇) → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗))
58	57	rabbidv 3402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
59	58	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
60	8	sselda 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
61		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62	61, 52	lidlss 21119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
64	63	ralrimiva 3121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
65		unissb 4890	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
66	64, 65	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
67	51, 61, 52	rspcl 21142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾‘∪ 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
68	26, 66, 67	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝐾‘∪ 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
69	10	rabex 5278	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V)
71	56, 59, 68, 70	fvmptd 6937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
72	71	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗}))
73	72	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗}))
74	55, 73	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))
75	72	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
76	1	elrab 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
77	75, 76	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
78	77	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
79	78	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80		elssuni 4888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑇 → 𝑙 ⊆ ∪ 𝑇)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ ∪ 𝑇)
82		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅))
83	51, 61	rspssid 21143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
84	26, 66, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
85	82, 84	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
86	81, 85	sstrd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
87	77	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
88	87	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
89	86, 88	sstrd 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ 𝑝)
90	43, 79, 89	elrabd 3650	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
91	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
92	91	sselda 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
93	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
94	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
95		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
96	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V)
97	93, 94, 95, 96	fvmptd 6937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
98	82, 92, 97	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
99	90, 98	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
100	99	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
101	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
102	100, 101	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙))
103	74, 102	impbida 800	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))))
104	103	eqrdv 2727	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3394  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ∪ cuni 4858  ∩ ciin 4942   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  Ringcrg 20118  LIdealclidl 21113  RSpancrsp 21114  PrmIdealcprmidl 33372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-prmidl 33373

This theorem is referenced by:  zarclsint  33839  zarcmplem  33848