Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarclsiin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarclsiin 32492
Description: In a Zariski topology, the intersection of the closures of a family of ideals is the closure of the span of their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
zarclsiin.1 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zarclsiin ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) = (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑖,𝑗,𝑙   𝑉,𝑙   𝑖,𝐾,𝑗,𝑙   𝑇,𝑖,𝑗,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarclsiin
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3975 . . . . 5 (𝑗 = 𝑝 → ((𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
2 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑇 ≠ ∅)
3 zarclsx.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
5 sseq1 3974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑙 → (𝑖𝑗𝑙𝑗))
65rabbidv 3418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑙 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
76adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
8 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
98sselda 3949 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
1110rabex 5294 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V)
134, 7, 9, 12fvmptd 6960 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
14 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅)
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
1613, 15eqsstrd 3987 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
1716sseld 3948 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑝 ∈ (𝑉𝑙) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
1817ralimdva 3165 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
19 eliin 4964 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ V → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
2019elv 3454 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
2120biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
2218, 21impel 507 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
23 rspn0 4317 . . . . . . 7 (𝑇 ≠ ∅ → (∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
2423imp 408 . . . . . 6 ((𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
252, 22, 24syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
26 simp1 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
2726adantr 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑅 ∈ Ring)
28 prmidlidl 32256 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2927, 25, 28syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
30 nfv 1918 . . . . . . . . 9 𝑙(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅)
31 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 𝑙𝑝
32 nfii1 4994 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)
3331, 32nfel 2922 . . . . . . . . 9 𝑙 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)
3430, 33nfan 1903 . . . . . . . 8 𝑙((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙))
3521a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
3635imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
38 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑇)
39 rspa 3234 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
4037, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
4113adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
4240, 41eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
43 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑝 → (𝑙𝑗𝑙𝑝))
4443elrab 3650 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙𝑝))
4542, 44sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙𝑝))
4645simprd 497 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑝)
4746ex 414 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝑙𝑇𝑙𝑝))
4834, 47ralrimi 3243 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑙𝑝)
49 unissb 4905 . . . . . . 7 ( 𝑇𝑝 ↔ ∀𝑙𝑇 𝑙𝑝)
5048, 49sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑇𝑝)
51 zarclsiin.1 . . . . . . 7 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
52 eqid 2737 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5351, 52rspssp 20712 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇𝑝) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
5427, 29, 50, 53syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
551, 25, 54elrabd 3652 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
563a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
57 sseq1 3974 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐾 𝑇) → (𝑖𝑗 ↔ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗))
5857rabbidv 3418 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐾 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
5958adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 = (𝐾 𝑇)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
608sselda 3949 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑇) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
61 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6261, 52lidlss 20696 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑇) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6463ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑖𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
65 unissb 4905 . . . . . . . . 9 ( 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6664, 65sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
6751, 61, 52rspcl 20708 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
6826, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝐾 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
6910rabex 5294 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V)
7156, 59, 68, 70fvmptd 6960 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑉‘(𝐾 𝑇)) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
7271eleq2d 2824 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗}))
7372adantr 482 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗}))
7455, 73mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
7572biimpa 478 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
761elrab 3650 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
7775, 76sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
7877simpld 496 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
7978adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80 elssuni 4903 . . . . . . . . . 10 (𝑙𝑇𝑙 𝑇)
8180adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 𝑇)
82 simpll 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅))
8351, 61rspssid 20709 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8426, 66, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8582, 84syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8681, 85sstrd 3959 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ⊆ (𝐾 𝑇))
8777simprd 497 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
8887adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
8986, 88sstrd 3959 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑝)
9043, 79, 89elrabd 3652 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
918adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
9291sselda 3949 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
933a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
946adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
95 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9611a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V)
9793, 94, 95, 96fvmptd 6960 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
9882, 92, 97syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
9990, 98eleqtrrd 2841 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
10099ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
10120a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
102100, 101mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙))
10374, 102impbida 800 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))))
104103eqrdv 2735 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) = (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448  wss 3915  c0 4287   cuni 4870   ciin 4960  cmpt 5193  cfv 6501  Basecbs 17090  Ringcrg 19971  LIdealclidl 20647  RSpancrsp 20648  PrmIdealcprmidl 32247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-prmidl 32248
This theorem is referenced by:  zarclsint  32493  zarcmplem  32502
  Copyright terms: Public domain W3C validator