Theorem zarclsiin 31821

Description: In a Zariski topology, the intersection of the closures of a family of ideals is the closure of the span of their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarclsiin.1	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarclsiin	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑖,𝑗,𝑙   𝑉,𝑙   𝑖,𝐾,𝑗,𝑙   𝑇,𝑖,𝑗,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarclsiin

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3947	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → ((𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
2		simpl3 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑇 ≠ ∅)
3		zarclsx.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
5		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑙 ⊆ 𝑗))
6	5	rabbidv 3414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
8		simp2 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
9	8	sselda 3921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		fvex 6787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
11	10	rabex 5256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V)
13	4, 7, 9, 12	fvmptd 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
14		ssrab2 4013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
16	13, 15	eqsstrd 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
17	16	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
18	17	ralimdva 3108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
19		eliin 4929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ V → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
20	19	elv 3438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
21	20	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
22	18, 21	impel 506	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
23		rspn0 4286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ → (∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
24	23	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
25	2, 22, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
26		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
27	26	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		prmidlidl 31619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29	27, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
30		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅)
31		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙𝑝
32		nfii1 4959	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)
33	31, 32	nfel 2921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)
34	30, 33	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙))
35	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
36	35	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
38		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ 𝑇)
39		rspa 3132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
41	13	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
42	40, 41	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
43		sseq2 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑝 → (𝑙 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑙 ⊆ 𝑝))
44	43	elrab 3624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙 ⊆ 𝑝))
45	42, 44	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙 ⊆ 𝑝))
46	45	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ 𝑝)
47	46	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝑙 ∈ 𝑇 → 𝑙 ⊆ 𝑝))
48	34, 47	ralrimi 3141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑙 ⊆ 𝑝)
49		unissb 4873	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ 𝑝 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑙 ⊆ 𝑝)
50	48, 49	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → ∪ 𝑇 ⊆ 𝑝)
51		zarclsiin.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
52		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
53	51, 52	rspssp 20497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ∪ 𝑇 ⊆ 𝑝) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
54	27, 29, 50, 53	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
55	1, 25, 54	elrabd 3626	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
56	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
57		sseq1 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇) → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗))
58	57	rabbidv 3414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
59	58	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 = (𝐾‘∪ 𝑇)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
60	8	sselda 3921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
61		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62	61, 52	lidlss 20481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
64	63	ralrimiva 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
65		unissb 4873	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
66	64, 65	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
67	51, 61, 52	rspcl 20493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾‘∪ 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
68	26, 66, 67	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝐾‘∪ 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
69	10	rabex 5256	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V)
71	56, 59, 68, 70	fvmptd 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
72	71	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗}))
73	72	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗}))
74	55, 73	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙)) → 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))
75	72	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗})
76	1	elrab 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
77	75, 76	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝))
78	77	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
79	78	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80		elssuni 4871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑇 → 𝑙 ⊆ ∪ 𝑇)
81	80	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ ∪ 𝑇)
82		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅))
83	51, 61	rspssid 20494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∪ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
84	26, 66, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
85	82, 84	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑇 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
86	81, 85	sstrd 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ (𝐾‘∪ 𝑇))
87	77	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
88	87	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝐾‘∪ 𝑇) ⊆ 𝑝)
89	86, 88	sstrd 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ⊆ 𝑝)
90	43, 79, 89	elrabd 3626	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
91	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
92	91	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
93	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
94	6	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
95		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
96	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗} ∈ V)
97	93, 94, 95, 96	fvmptd 6882	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
98	82, 92, 97	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙 ⊆ 𝑗})
99	90, 98	eleqtrrd 2842	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
100	99	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙))
101	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑇 𝑝 ∈ (𝑉‘𝑙)))
102	100, 101	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))) → 𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙))
103	74, 102	impbida 798	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) ↔ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇))))
104	103	eqrdv 2736	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∩ 𝑙 ∈ 𝑇 (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘(𝐾‘∪ 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839  ∩ ciin 4925   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Ringcrg 19783  LIdealclidl 20432  RSpancrsp 20433  PrmIdealcprmidl 31610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-prmidl 31611

This theorem is referenced by:  zarclsint  31822  zarcmplem  31831