Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarclsiin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarclsiin 31224
 Description: In a Zariski topology, the intersection of the closures of a family of ideals is the closure of the span of their union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
zarclsiin.1 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zarclsiin ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) = (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑖,𝑗,𝑙   𝑉,𝑙   𝑖,𝐾,𝑗,𝑙   𝑇,𝑖,𝑗,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarclsiin
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3944 . . . . 5 (𝑗 = 𝑝 → ((𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗 ↔ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
2 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑇 ≠ ∅)
3 zarclsx.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
5 sseq1 3943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑙 → (𝑖𝑗𝑙𝑗))
65rabbidv 3430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑙 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
76adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
8 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
98sselda 3918 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
1110rabex 5202 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V)
134, 7, 9, 12fvmptd 6756 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
14 ssrab2 4010 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅)
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
1613, 15eqsstrd 3956 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
1716sseld 3917 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑝 ∈ (𝑉𝑙) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
1817ralimdva 3147 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
19 eliin 4889 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ V → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
2019elv 3449 . . . . . . . 8 (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
2120biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
2218, 21impel 509 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
23 rspn0 4269 . . . . . . 7 (𝑇 ≠ ∅ → (∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
2423imp 410 . . . . . 6 ((𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
252, 22, 24syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
26 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Ring)
2726adantr 484 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑅 ∈ Ring)
28 prmidlidl 31027 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2927, 25, 28syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅))
30 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑙(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅)
31 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑙𝑝
32 nfii1 4919 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)
3331, 32nfel 2972 . . . . . . . . 9 𝑙 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)
3430, 33nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑙((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙))
3521a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
3635imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
3736adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑇)
39 rspa 3174 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
4037, 38, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
4113adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
4240, 41eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
43 sseq2 3944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑝 → (𝑙𝑗𝑙𝑝))
4443elrab 3631 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙𝑝))
4542, 44sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ 𝑙𝑝))
4645simprd 499 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑝)
4746ex 416 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝑙𝑇𝑙𝑝))
4834, 47ralrimi 3183 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → ∀𝑙𝑇 𝑙𝑝)
49 unissb 4835 . . . . . . 7 ( 𝑇𝑝 ↔ ∀𝑙𝑇 𝑙𝑝)
5048, 49sylibr 237 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑇𝑝)
51 zarclsiin.1 . . . . . . 7 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
52 eqid 2801 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5351, 52rspssp 19995 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇𝑝) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
5427, 29, 50, 53syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
551, 25, 54elrabd 3633 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
563a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
57 sseq1 3943 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐾 𝑇) → (𝑖𝑗 ↔ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗))
5857rabbidv 3430 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐾 𝑇) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
5958adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖 = (𝐾 𝑇)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
608sselda 3918 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑇) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
61 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6261, 52lidlss 19979 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑇) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6463ralrimiva 3152 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑖𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
65 unissb 4835 . . . . . . . . 9 ( 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖𝑇 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6664, 65sylibr 237 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
6751, 61, 52rspcl 19991 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐾 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
6826, 66, 67syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝐾 𝑇) ∈ (LIdeal‘𝑅))
6910rabex 5202 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ∈ V)
7156, 59, 68, 70fvmptd 6756 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑉‘(𝐾 𝑇)) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
7271eleq2d 2878 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗}))
7372adantr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → (𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗}))
7455, 73mpbird 260 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙)) → 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
7572biimpa 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗})
761elrab 3631 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑗} ↔ (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
7775, 76sylib 221 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∧ (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝))
7877simpld 498 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
7978adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80 elssuni 4833 . . . . . . . . . 10 (𝑙𝑇𝑙 𝑇)
8180adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 𝑇)
82 simpll 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅))
8351, 61rspssid 19992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8426, 66, 83syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8582, 84syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑇 ⊆ (𝐾 𝑇))
8681, 85sstrd 3928 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ⊆ (𝐾 𝑇))
8777simprd 499 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
8887adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝐾 𝑇) ⊆ 𝑝)
8986, 88sstrd 3928 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙𝑝)
9043, 79, 89elrabd 3633 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
918adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
9291sselda 3918 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
933a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
946adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 = 𝑙) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
95 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9611a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗} ∈ V)
9793, 94, 95, 96fvmptd 6756 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑙 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
9882, 92, 97syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → (𝑉𝑙) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑙𝑗})
9990, 98eleqtrrd 2896 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) ∧ 𝑙𝑇) → 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
10099ralrimiva 3152 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙))
10120a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ ∀𝑙𝑇 𝑝 ∈ (𝑉𝑙)))
102100, 101mpbird 260 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))) → 𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙))
10374, 102impbida 800 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑝 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) ↔ 𝑝 ∈ (𝑉‘(𝐾 𝑇))))
104103eqrdv 2799 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ⊆ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑙𝑇 (𝑉𝑙) = (𝑉‘(𝐾 𝑇)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  {crab 3113  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  ∪ cuni 4803  ∩ ciin 4885   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  Basecbs 16478  Ringcrg 19293  LIdealclidl 19938  RSpancrsp 19939  PrmIdealcprmidl 31018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942  df-rsp 19943  df-prmidl 31019 This theorem is referenced by:  zarclsint  31225  zarcmplem  31234
 Copyright terms: Public domain W3C validator