Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seglemin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seglemin 34636
Description: Any segment is at least as long as a degenerate segment. Theorem 5.11 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
seglemin ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐴, 𝐴⟩ Seg𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem seglemin
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr2 1195 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 btwntriv1 34539 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
323adant3r1 1182 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
4 cgrtriv 34525 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩)
543adant3r3 1184 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩)
6 breq1 5106 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
7 opeq2 4829 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐵, 𝑦⟩ = ⟨𝐵, 𝐵⟩)
87breq2d 5115 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩))
96, 8anbi12d 631 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩) ↔ (𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩)))
109rspcev 3579 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩)) → ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩))
111, 3, 5, 10syl12anc 835 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩))
12 simpl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 simpr1 1194 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14 simpr3 1196 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
15 brsegle 34631 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐴⟩ Seg𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩)))
1612, 13, 13, 1, 14, 15syl122anc 1379 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐴⟩ Seg𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩)))
1711, 16mpbird 256 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐴, 𝐴⟩ Seg𝐵, 𝐶⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  cop 4590   class class class wbr 5103  cfv 6493  cn 12111  𝔼cee 27666   Btwn cbtwn 27667  Cgrccgr 27668   Seg csegle 34629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-sum 15531  df-ee 27669  df-btwn 27670  df-cgr 27671  df-segle 34630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator