Theorem seglemin 36972

Description: Any segment is at least as long as a degenerate segment. Theorem 5.11 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seglemin	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐴, 𝐴⟩ Seg≤ ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem seglemin

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		btwntriv1 36875	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3	2	3adant3r1 1201	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
4		cgrtriv 36861	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩)
5	4	3adant3r3 1203	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩)
6		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
7		opeq2 4840	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐵, 𝑦⟩ = ⟨𝐵, 𝐵⟩)
8	7	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩))
9	6, 8	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩) ↔ (𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩)))
10	9	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝐵⟩)) → ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩))
11	1, 3, 5, 10	syl12anc 850	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩))
12		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		brsegle 36967	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐴⟩ Seg≤ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩)))
16	12, 13, 13, 1, 14, 15	syl122anc 1406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐴⟩ Seg≤ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑦 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐴⟩Cgr⟨𝐵, 𝑦⟩)))
17	11, 16	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐴, 𝐴⟩ Seg≤ ⟨𝐵, 𝐶⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  ℕcn 12340  𝔼cee 29472   Btwn cbtwn 29473  Cgrccgr 29474   Seg_≤ csegle 36965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-clim 15662  df-sum 15861  df-ee 29475  df-btwn 29476  df-cgr 29477  df-segle 36966

This theorem is used by: (None)