Theorem sge0ltfirpmpt 46865

Description: If the extended sum of nonnegative reals is not +∞, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0ltfirpmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0ltfirpmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0ltfirpmpt.rp	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirpmpt.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirpmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirpmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0ltfirpmpt.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0ltfirpmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0ltfirpmpt.rp	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
7		sge0ltfirpmpt.re	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8	1, 5, 6, 7	sge0ltfirp 46857	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
9		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌))
10		elpwinss 45512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
11	10	resmptd 5999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
12	11	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
13	12	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) + 𝑌))
14	13	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) + 𝑌))
15	9, 14	breqtrd 5101	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) + 𝑌))
16	15	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) + 𝑌)))
17	16	reximia 3076	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) + 𝑌))
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) + 𝑌) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) + 𝑌)))
19	8, 18	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   ∩ cin 3884  𝒫 cpw 4532   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156   ↾ cres 5623  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  ℝcr 11032  0cc0 11033   + caddc 11036  +∞cpnf 11171   < clt 11174  ℝ⁺crp 12937  [,]cicc 13296  Σ^{^}csumge0 46819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-sumge0 46820

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  46872  omeiunltfirp  46976