Theorem sumhash 17074

Description: The sum of 1 over a set is the size of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sumhash	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 0) = (♯‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem sumhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9188	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2		ax-1cn 11258	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		fsumconst 15956	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = ((♯‘𝐴) · 1))
4	1, 2, 3	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = ((♯‘𝐴) · 1))
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	2	rgenw 3081	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝐴 1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 1 ∈ ℂ)
8		animorlr 995	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝐶) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
9		sumss2 15892	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝐶) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 0))
10	5, 7, 8, 9	syl21anc 851	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 0))
11		hashcl 14500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	1, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12669	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	mulridd 11326	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((♯‘𝐴) · 1) = (♯‘𝐴))
15	4, 10, 14	3eqtr3d 2804	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 0) = (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205  ℕ₀cn0 12606  ℤ_≥cuz 12965  ♯chash 14474  Σcsu 15853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854

This theorem is used by:  pcfac  17077  ramcl  17207  bposlem1  27611