Theorem sumhash 16921

Description: The sum of 1 over a set is the size of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sumhash	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 0) = (♯‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem sumhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfi 9192	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2		ax-1cn 11192	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		fsumconst 15811	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = ((♯‘𝐴) · 1))
4	1, 2, 3	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = ((♯‘𝐴) · 1))
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	2	rgenw 3056	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝐴 1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 1 ∈ ℂ)
8		animorlr 981	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝐶) ∨ 𝐵 ∈ Fin))
9		sumss2 15747	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝐶) ∨ 𝐵 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 0))
10	5, 7, 8, 9	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 1 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 0))
11		hashcl 14379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	1, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12569	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	mulridd 11257	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((♯‘𝐴) · 1) = (♯‘𝐴))
15	4, 10, 14	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 0) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  ifcif 4505  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139  ℕ₀cn0 12506  ℤ_≥cuz 12857  ♯chash 14353  Σcsu 15707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708

This theorem is referenced by:  pcfac  16924  ramcl  17054  bposlem1  27252