Theorem symggen2 19383

Description: A finite permutation group is generated by the transpositions, see also Theorem 3.4 in [Rotman] p. 31. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgtrf.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrf.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symggen.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
symggen2	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = 𝐵)

Proof of Theorem symggen2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgtrf.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2		symgtrf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3		symgtrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		symggen.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	symggen 19382	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6		difss 4083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥
7		dmss 5841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥
9	2, 3	symgbasf1o 19287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥:𝐷–1-1-onto→𝐷)
10		f1odm 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom 𝑥 = 𝐷)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → dom 𝑥 = 𝐷)
12	8, 11	sseqtrid 3972	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
13		ssfi 9082	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
14	12, 13	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
15	14	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
16		rabid2 3428	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
17	15, 16	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
18	5, 17	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897   I cid 5508  dom cdm 5614  ran crn 5615  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  Fincfn 8869  Basecbs 17120  mrClscmrc 17485  SubMndcsubmnd 18690  SymGrpcsymg 19281  pmTrspcpmtr 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-efmnd 18777  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-symg 19282  df-pmtr 19354

This theorem is referenced by:  psgnfitr  19429  mdetunilem7  22533