Theorem symggen2 19338

Description: A finite permutation group is generated by the transpositions, see also Theorem 3.4 in [Rotman] p. 31. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgtrf.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrf.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symggen.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
symggen2	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = 𝐵)

Proof of Theorem symggen2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgtrf.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2		symgtrf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3		symgtrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		symggen.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	symggen 19337	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6		difss 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥
7		dmss 5902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥
9	2, 3	symgbasf1o 19241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥:𝐷–1-1-onto→𝐷)
10		f1odm 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom 𝑥 = 𝐷)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → dom 𝑥 = 𝐷)
12	8, 11	sseqtrid 4034	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
13		ssfi 9172	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
14	12, 13	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
15	14	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
16		rabid2 3464	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
17	15, 16	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
18	5, 17	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {crab 3432   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948   I cid 5573  dom cdm 5676  ran crn 5677  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  Fincfn 8938  Basecbs 17143  mrClscmrc 17526  SubMndcsubmnd 18669  SymGrpcsymg 19233  pmTrspcpmtr 19308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-symg 19234  df-pmtr 19309

This theorem is referenced by:  psgnfitr  19384  mdetunilem7  22119