Theorem symggen2 18248

Description: A finite permutation group is generated by the transpositions, see also Theorem 3.4 in [Rotman] p. 31. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgtrf.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrf.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symggen.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
symggen2	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = 𝐵)

Proof of Theorem symggen2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgtrf.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2		symgtrf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3		symgtrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		symggen.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	symggen 18247	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6		difss 3966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥
7		dmss 5559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥
9	2, 3	symgbasf1o 18160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥:𝐷–1-1-onto→𝐷)
10		f1odm 6386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom 𝑥 = 𝐷)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → dom 𝑥 = 𝐷)
12	8, 11	syl5sseq 3878	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
13		ssfi 8455	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
14	12, 13	sylan2 586	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
15	14	ralrimiva 3175	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
16		rabid2 3329	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
17	15, 16	sylibr 226	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
18	5, 17	eqtr4d 2864	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  {crab 3121   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798   I cid 5251  dom cdm 5346  ran crn 5347  –1-1-onto→wf1o 6126  ‘cfv 6127  Fincfn 8228  Basecbs 16229  mrClscmrc 16603  SubMndcsubmnd 17694  SymGrpcsymg 18154  pmTrspcpmtr 18218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-tset 16331  df-0g 16462  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-subg 17949  df-symg 18155  df-pmtr 18219

This theorem is referenced by:  psgnfitr  18295  mdetunilem7  20799