Theorem symggen2 18994

Description: A finite permutation group is generated by the transpositions, see also Theorem 3.4 in [Rotman] p. 31. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgtrf.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
symgtrf.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
symgtrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symggen.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
symggen2	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = 𝐵)

Proof of Theorem symggen2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgtrf.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2		symgtrf.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3		symgtrf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		symggen.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	symggen 18993	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
6		difss 4062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥
7		dmss 5800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝑥 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ dom 𝑥
9	2, 3	symgbasf1o 18897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥:𝐷–1-1-onto→𝐷)
10		f1odm 6704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom 𝑥 = 𝐷)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → dom 𝑥 = 𝐷)
12	8, 11	sseqtrid 3969	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
13		ssfi 8918	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ dom (𝑥 ∖ I ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
14	12, 13	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
15	14	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
16		rabid2 3307	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
17	15, 16	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
18	5, 17	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐾‘𝑇) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883   I cid 5479  dom cdm 5580  ran crn 5581  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  Fincfn 8691  Basecbs 16840  mrClscmrc 17209  SubMndcsubmnd 18344  SymGrpcsymg 18889  pmTrspcpmtr 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-efmnd 18423  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-symg 18890  df-pmtr 18965

This theorem is referenced by:  psgnfitr  19040  mdetunilem7  21675