MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfvallem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem taylfvallem 26308
Description: Lemma for taylfval 26309. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylfval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
taylfvallem ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)
Proof of Theorem taylfvallem
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21285 . 2 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnring 21320 . . 3 β„‚fld ∈ Ring
3 ringcmn 20220 . . 3 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
42, 3mp1i 13 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
5 cnfldtps 24710 . . 3 β„‚fld ∈ TopSp
65a1i 11 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ TopSp)
7 ovex 7448 . . . 4 (0[,]𝑁) ∈ V
87inex1 5312 . . 3 ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V
98a1i 11 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V)
10 taylfval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
11 taylfval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
12 taylfval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
13 taylfval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
14 taylfval.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
1510, 11, 12, 13, 14taylfvallem1 26307 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
1615fmpttd 7119 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))):((0[,]𝑁) ∩ β„€)βŸΆβ„‚)
171, 4, 6, 9, 16tsmscl 24055 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  {cpr 4626   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136   Β· cmul 11141  +∞cpnf 11273   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  [,]cicc 13357  β†‘cexp 14056  !cfa 14262  CMndccmn 19737  Ringcrg 20175  β„‚fldccnfld 21281  TopSpctps 22850   tsums ctsu 24046   D𝑛 cdvn 25809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-tsms 24047  df-xms 24242  df-ms 24243  df-limc 25811  df-dv 25812  df-dvn 25813
This theorem is referenced by:  taylfval  26309  taylf  26311
  Copyright terms: Public domain W3C validator