MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfvallem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem taylfvallem 26266
Description: Lemma for taylfval 26267. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylfval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
taylfvallem ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)
Proof of Theorem taylfvallem
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21263 . 2 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnring 21298 . . 3 β„‚fld ∈ Ring
3 ringcmn 20200 . . 3 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
42, 3mp1i 13 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
5 cnfldtps 24668 . . 3 β„‚fld ∈ TopSp
65a1i 11 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ TopSp)
7 ovex 7447 . . . 4 (0[,]𝑁) ∈ V
87inex1 5311 . . 3 ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V
98a1i 11 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V)
10 taylfval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
11 taylfval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
12 taylfval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
13 taylfval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
14 taylfval.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
1510, 11, 12, 13, 14taylfvallem1 26265 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
1615fmpttd 7119 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))):((0[,]𝑁) ∩ β„€)βŸΆβ„‚)
171, 4, 6, 9, 16tsmscl 24013 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  {cpr 4626   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124   Β· cmul 11129  +∞cpnf 11261   βˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  [,]cicc 13345  β†‘cexp 14044  !cfa 14250  CMndccmn 19719  Ringcrg 20157  β„‚fldccnfld 21259  TopSpctps 22808   tsums ctsu 24004   D𝑛 cdvn 25767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-tsms 24005  df-xms 24200  df-ms 24201  df-limc 25769  df-dv 25770  df-dvn 25771
This theorem is referenced by:  taylfval  26267  taylf  26269
  Copyright terms: Public domain W3C validator