Theorem esumcl 34365

Description: Closure for extended sum in the extended positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esumcl.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐴

Assertion

Ref	Expression
esumcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0base 17661	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0cmn 21563	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4		xrge0tps 34277	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		esumcl.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7	nfel1 2947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ 𝑉
9		nfra1 3295	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
10	8, 9	nfan 1926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11		nfcv 2931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
12		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	12	r19.21bi 3263	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
15	10, 7, 11, 13, 14	fmptdF 32942	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
16	1, 3, 5, 6, 15	tsmscl 24261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ⊆ (0[,]+∞))
17		df-esum 34363	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
19	18, 6, 15	xrge0tsmsbi 33335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
20	17, 19	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21	16, 20	sseldd 3944	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Ⅎwnfc 2916  ∀wral 3085  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194  (class class class)co 7411  0cc0 11100  +∞cpnf 11240  [,]cicc 13375   ↾_s cress 17290  ℝ^*_𝑠cxrs 17554  CMndccmn 19850  TopSpctps 23058   tsums ctsu 24252  Σ^*cesum 34362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-xadd 13138  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-ordt 17555  df-xrs 17556  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-ps 18622  df-tsr 18623  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-ntr 23146  df-nei 23224  df-cn 23353  df-haus 23441  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-tsms 24253  df-esum 34363

This theorem is referenced by:  esumel  34382  esummono  34389  esumpad  34390  esumpad2  34391  esumle  34393  esumlef  34397  esumrnmpt2  34403  esumfsup  34405  esumpinfval  34408  esumpinfsum  34412  esumpmono  34414  esummulc1  34416  esummulc2  34417  esumdivc  34418  hasheuni  34420  esumcvg  34421  esumgect  34425  esum2dlem  34427  esum2d  34428  measiun  34553  omscl  34630  oms0  34632  omsmon  34633  omssubadd  34635  carsggect  34653  carsgclctunlem2  34654  omsmeas  34658