Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcl 30439
Description: Closure for extended sum in the extended positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumcl.1 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
esumcl ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcl
StepHypRef Expression
1 xrge0base 30032 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 xrge0cmn 20015 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
32a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4 xrge0tps 30335 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
54a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6 simpl 470 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴𝑉)
7 esumcl.1 . . . . . 6 𝑘𝐴
87nfel1 2974 . . . . 5 𝑘 𝐴𝑉
9 nfra1 3140 . . . . 5 𝑘𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
108, 9nfan 1990 . . . 4 𝑘(𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11 nfcv 2959 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
12 simpr 473 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1312r19.21bi 3131 . . . 4 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2817 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1510, 7, 11, 13, 14fmptdF 29805 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
161, 3, 5, 6, 15tsmscl 22171 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) ⊆ (0[,]+∞))
17 df-esum 30437 . . 3 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
18 eqid 2817 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
1918, 6, 15xrge0tsmsbi 30133 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))))
2017, 19mpbiri 249 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
2116, 20sseldd 3810 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wnfc 2946  wral 3107   cuni 4641  cmpt 4934  (class class class)co 6883  0cc0 10230  +∞cpnf 10365  [,]cicc 12415  s cress 16088  *𝑠cxrs 16384  CMndccmn 18413  TopSpctps 20970   tsums ctsu 22162  Σ*cesum 30436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-pre-sup 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-isom 6119  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-of 7136  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-supp 7539  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-fsupp 8524  df-fi 8565  df-sup 8596  df-inf 8597  df-oi 8663  df-card 9057  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10979  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-q 12027  df-xadd 12182  df-ioo 12416  df-ioc 12417  df-ico 12418  df-icc 12419  df-fz 12569  df-fzo 12709  df-seq 13044  df-hash 13357  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-ress 16095  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-tset 16191  df-ple 16192  df-ds 16194  df-rest 16307  df-topn 16308  df-0g 16326  df-gsum 16327  df-topgen 16328  df-ordt 16385  df-xrs 16386  df-mre 16470  df-mrc 16471  df-acs 16473  df-ps 17424  df-tsr 17425  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-submnd 17560  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-fbas 19970  df-fg 19971  df-top 20932  df-topon 20949  df-topsp 20971  df-bases 20984  df-ntr 21058  df-nei 21136  df-cn 21265  df-haus 21353  df-fil 21883  df-fm 21975  df-flim 21976  df-flf 21977  df-tsms 22163  df-esum 30437
This theorem is referenced by:  esumel  30456  esummono  30463  esumpad  30464  esumpad2  30465  esumle  30467  esumlef  30471  esumrnmpt2  30477  esumfsup  30479  esumpinfval  30482  esumpinfsum  30486  esumpmono  30488  esummulc1  30490  esummulc2  30491  esumdivc  30492  hasheuni  30494  esumcvg  30495  esumgect  30499  esum2dlem  30501  esum2d  30502  measiun  30628  omscl  30704  oms0  30706  omsmon  30707  omssubadd  30709  carsggect  30727  carsgclctunlem2  30728  omsmeas  30732
  Copyright terms: Public domain W3C validator