Theorem esumcl 34729

Description: Closure for extended sum in the extended positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esumcl.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐴

Assertion

Ref	Expression
esumcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0base 17805	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0cmn 21777	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4		xrge0tps 34641	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		esumcl.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7	nfel1 2942	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ 𝑉
9		nfra1 3290	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
10	8, 9	nfan 1934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	12	r19.21bi 3258	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
15	10, 7, 11, 13, 14	fmptdf2 33319	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
16	1, 3, 5, 6, 15	tsmscl 24481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ⊆ (0[,]+∞))
17		df-esum 34727	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
19	18, 6, 15	xrge0tsmsbi 33702	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
20	17, 19	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21	16, 20	sseldd 3914	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  ∀wral 3080  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5189  (class class class)co 7440  0cc0 11224  +∞cpnf 11364  [,]cicc 13503   ↾_s cress 17434  ℝ^*_𝑠cxrs 17698  CMndccmn 20021  TopSpctps 23277   tsums ctsu 24472  Σ^*cesum 34726

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-xadd 13266  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-ordt 17699  df-xrs 17700  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-ps 18766  df-tsr 18767  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-ntr 23365  df-nei 23443  df-cn 23572  df-haus 23660  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-tsms 24473  df-esum 34727

This theorem is used by:  esumel  34746  esummono  34753  esumpad  34754  esumpad2  34755  esumle  34757  esumlef  34761  esumrnmpt2  34767  esumfsup  34769  esumpinfval  34772  esumpinfsum  34776  esumpmono  34778  esummulc1  34780  esummulc2  34781  esumdivc  34782  hasheuni  34784  esumcvg  34785  esumgect  34789  esum2dlem  34791  esum2d  34792  measiun  34918  omscl  34994  oms0  34996  omsmon  34997  omssubadd  34999  carsggect  35017  carsgclctunlem2  35018  omsmeas  35022