Theorem znle2 20673

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znle2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem znle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
3		znle2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊)
5		znle2.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6		znle2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znle 20652	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊)))
8	1, 2, 3	znzrh 20662	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (ℤRHom‘𝑌))
9	8	reseq1d 5879	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊))
10		znle2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
11	9, 10	eqtr4di 2797	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = 𝐹)
12	11	coeq1d 5759	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) ∘ ≤ ) = (𝐹 ∘ ≤ ))
13	11	cnveqd 5773	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = ◡𝐹)
14	12, 13	coeq12d 5762	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊)) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
15	7, 14	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  {csn 4558  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ..^cfzo 13311  lecple 16895   /_s cqus 17133   ~_QG cqg 18666  RSpancrsp 20348  ℤ_ringzring 20582  ℤRHomczrh 20613  ℤ/nℤczn 20616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-zn 20620

This theorem is referenced by:  znleval  20674