MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znle2 20983
Description: The ordering of the β„€/nβ„€ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znle2.f 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
znle2.w π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
znle2.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znle2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ≀ = ((𝐹 ∘ ≀ ) ∘ ◑𝐹))

Proof of Theorem znle2
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (RSpanβ€˜β„€ring) = (RSpanβ€˜β„€ring)
2 eqid 2733 . . 3 (β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))) = (β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
3 znle2.y . . 3 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 eqid 2733 . . 3 ((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š) = ((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š)
5 znle2.w . . 3 π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
6 znle2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
71, 2, 3, 4, 5, 6znle 20962 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ≀ = ((((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š) ∘ ≀ ) ∘ β—‘((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š)))
81, 2, 3znzrh 20972 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ))
98reseq1d 5940 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š) = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š))
10 znle2.f . . . . 5 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
119, 10eqtr4di 2791 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š) = 𝐹)
1211coeq1d 5821 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š) ∘ ≀ ) = (𝐹 ∘ ≀ ))
1311cnveqd 5835 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ β—‘((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š) = ◑𝐹)
1412, 13coeq12d 5824 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š) ∘ ≀ ) ∘ β—‘((β„€RHomβ€˜(β„€ring /s (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))) β†Ύ π‘Š)) = ((𝐹 ∘ ≀ ) ∘ ◑𝐹))
157, 14eqtrd 2773 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ≀ = ((𝐹 ∘ ≀ ) ∘ ◑𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4490  {csn 4590  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059   ≀ cle 11198  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  ..^cfzo 13576  lecple 17148   /s cqus 17395   ~QG cqg 18932  RSpancrsp 20677  β„€ringczring 20892  β„€RHomczrh 20923  β„€/nβ„€czn 20926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-zn 20930
This theorem is referenced by:  znleval  20984
  Copyright terms: Public domain W3C validator