Theorem 5prm 17206

Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
5prm	⊢ 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12355	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		1lt5 12451	. 2 ⊢ 1 < 5
3		2nn 12342	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		2nn0 12549	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn 12272	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t2e4 12432	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
7	6	oveq1i 7427	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8		df-5 12334	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
10		1lt2 12441	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 16508	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 5
12		3nn 12348	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1nn0 12548	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		3t1e3 12433	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
15	14	oveq1i 7427	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16		3p2e5 12419	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
17	15, 16	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
18		2lt3 12442	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	12, 13, 3, 17, 18	ndvdsi 16508	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
20		5nn0 12552	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21		5lt10 12881	. . 3 ⊢ 5 < ;10
22	3, 20, 20, 21	declti 12783	. 2 ⊢ 5 < ;25
23	1, 2, 11, 19, 22	prmlem1 17205	1 ⊢ 5 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  ℙcprime 16767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-prm 16768

This theorem is used by:  prmo5  17227  4001prm  17243  lt6abl  20028  bpos1  27527  12gcd5e1  42877  fmtno1prm  48470  fmtnofac1  48481  ppivalnnnprm  48539  8gbe  48697  11gbo  48699  nnsum3primesle9  48718