Theorem 5prm 17134

Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
5prm	⊢ 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12297	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		1lt5 12393	. 2 ⊢ 1 < 5
3		2nn 12284	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		2nn0 12491	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn 12214	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t2e4 12374	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
7	6	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8		df-5 12276	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
10		1lt2 12383	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 16436	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 5
12		3nn 12290	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1nn0 12490	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		3t1e3 12375	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
15	14	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16		3p2e5 12361	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
17	15, 16	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
18		2lt3 12384	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	12, 13, 3, 17, 18	ndvdsi 16436	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
20		5nn0 12494	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21		5lt10 12822	. . 3 ⊢ 5 < ;10
22	3, 20, 20, 21	declti 12724	. 2 ⊢ 5 < ;25
23	1, 2, 11, 19, 22	prmlem1 17133	1 ⊢ 5 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7390  1c1 11067   + caddc 11069   · cmul 11071  2c2 12265  3c3 12266  4c4 12267  5c5 12268  ℙcprime 16695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16277  df-prm 16696

This theorem is referenced by:  prmo5  17155  4001prm  17171  lt6abl  19925  bpos1  27334  12gcd5e1  42580  fmtno1prm  48128  fmtnofac1  48139  ppivalnnnprm  48197  8gbe  48355  11gbo  48357  nnsum3primesle9  48376