Theorem 5prm 17193

Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
5prm	⊢ 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12345	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		1lt5 12441	. 2 ⊢ 1 < 5
3		2nn 12332	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		2nn0 12539	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn 12262	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t2e4 12422	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
7	6	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8		df-5 12324	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2792	. . 3 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
10		1lt2 12431	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 16495	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 5
12		3nn 12338	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1nn0 12538	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		3t1e3 12423	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
15	14	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16		3p2e5 12409	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
17	15, 16	eqtri 2789	. . 3 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
18		2lt3 12432	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	12, 13, 3, 17, 18	ndvdsi 16495	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
20		5nn0 12542	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21		5lt10 12870	. . 3 ⊢ 5 < ;10
22	3, 20, 20, 21	declti 12772	. 2 ⊢ 5 < ;25
23	1, 2, 11, 19, 22	prmlem1 17192	1 ⊢ 5 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  ℙcprime 16754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-prm 16755

This theorem is used by:  prmo5  17214  4001prm  17230  lt6abl  19996  bpos1  27484  12gcd5e1  42811  fmtno1prm  48352  fmtnofac1  48363  ppivalnnnprm  48421  8gbe  48579  11gbo  48581  nnsum3primesle9  48600