MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  5prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5prm 16437
Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
5prm 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm
StepHypRef Expression
1 5nn 11715 . 2 5 ∈ ℕ
2 1lt5 11809 . 2 1 < 5
3 2nn 11702 . . 3 2 ∈ ℕ
4 2nn0 11906 . . 3 2 ∈ ℕ0
5 1nn 11640 . . 3 1 ∈ ℕ
6 2t2e4 11793 . . . . 5 (2 · 2) = 4
76oveq1i 7149 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8 df-5 11695 . . . 4 5 = (4 + 1)
97, 8eqtr4i 2827 . . 3 ((2 · 2) + 1) = 5
10 1lt2 11800 . . 3 1 < 2
113, 4, 5, 9, 10ndvdsi 15756 . 2 ¬ 2 ∥ 5
12 3nn 11708 . . 3 3 ∈ ℕ
13 1nn0 11905 . . 3 1 ∈ ℕ0
14 3t1e3 11794 . . . . 5 (3 · 1) = 3
1514oveq1i 7149 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16 3p2e5 11780 . . . 4 (3 + 2) = 5
1715, 16eqtri 2824 . . 3 ((3 · 1) + 2) = 5
18 2lt3 11801 . . 3 2 < 3
1912, 13, 3, 17, 18ndvdsi 15756 . 2 ¬ 3 ∥ 5
20 5nn0 11909 . . 3 5 ∈ ℕ0
21 5lt10 12225 . . 3 5 < 10
223, 20, 20, 21declti 12128 . 2 5 < 25
231, 2, 11, 19, 22prmlem1 16436 1 5 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2112  (class class class)co 7139  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  cprime 16008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-prm 16009
This theorem is referenced by:  prmo5  16457  4001prm  16473  lt6abl  19011  bpos1  25870  12gcd5e1  39284  fmtno1prm  44063  fmtnofac1  44074  8gbe  44278  11gbo  44280  nnsum3primesle9  44299
  Copyright terms: Public domain W3C validator