MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  5prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5prm 17072
Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
5prm 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm
StepHypRef Expression
1 5nn 12323 . 2 5 ∈ ℕ
2 1lt5 12417 . 2 1 < 5
3 2nn 12310 . . 3 2 ∈ ℕ
4 2nn0 12514 . . 3 2 ∈ ℕ0
5 1nn 12248 . . 3 1 ∈ ℕ
6 2t2e4 12401 . . . . 5 (2 · 2) = 4
76oveq1i 7425 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8 df-5 12303 . . . 4 5 = (4 + 1)
97, 8eqtr4i 2759 . . 3 ((2 · 2) + 1) = 5
10 1lt2 12408 . . 3 1 < 2
113, 4, 5, 9, 10ndvdsi 16383 . 2 ¬ 2 ∥ 5
12 3nn 12316 . . 3 3 ∈ ℕ
13 1nn0 12513 . . 3 1 ∈ ℕ0
14 3t1e3 12402 . . . . 5 (3 · 1) = 3
1514oveq1i 7425 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16 3p2e5 12388 . . . 4 (3 + 2) = 5
1715, 16eqtri 2756 . . 3 ((3 · 1) + 2) = 5
18 2lt3 12409 . . 3 2 < 3
1912, 13, 3, 17, 18ndvdsi 16383 . 2 ¬ 3 ∥ 5
20 5nn0 12517 . . 3 5 ∈ ℕ0
21 5lt10 12837 . . 3 5 < 10
223, 20, 20, 21declti 12740 . 2 5 < 25
231, 2, 11, 19, 22prmlem1 17071 1 5 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2099  (class class class)co 7415  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138  2c2 12292  3c3 12293  4c4 12294  5c5 12295  cprime 16636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-prm 16637
This theorem is referenced by:  prmo5  17092  4001prm  17108  lt6abl  19844  bpos1  27210  12gcd5e1  41469  fmtno1prm  46890  fmtnofac1  46901  8gbe  47104  11gbo  47106  nnsum3primesle9  47125
  Copyright terms: Public domain W3C validator