Theorem 5prm 17113

Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
5prm	⊢ 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12352	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		1lt5 12446	. 2 ⊢ 1 < 5
3		2nn 12339	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		2nn0 12543	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn 12277	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t2e4 12430	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
7	6	oveq1i 7436	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8		df-5 12332	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2757	. . 3 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
10		1lt2 12437	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 16416	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 5
12		3nn 12345	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1nn0 12542	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		3t1e3 12431	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
15	14	oveq1i 7436	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16		3p2e5 12417	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
17	15, 16	eqtri 2754	. . 3 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
18		2lt3 12438	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	12, 13, 3, 17, 18	ndvdsi 16416	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
20		5nn0 12546	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21		5lt10 12866	. . 3 ⊢ 5 < ;10
22	3, 20, 20, 21	declti 12769	. 2 ⊢ 5 < ;25
23	1, 2, 11, 19, 22	prmlem1 17112	1 ⊢ 5 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7426  1c1 11161   + caddc 11163   · cmul 11165  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  ℙcprime 16674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9487  df-inf 9488  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13031  df-fz 13541  df-seq 14024  df-exp 14084  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-dvds 16259  df-prm 16675

This theorem is referenced by:  prmo5  17133  4001prm  17149  lt6abl  19895  bpos1  27315  12gcd5e1  41704  fmtno1prm  47149  fmtnofac1  47160  8gbe  47363  11gbo  47365  nnsum3primesle9  47384