MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  5prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5prm 16986
Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
5prm 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm
StepHypRef Expression
1 5nn 12244 . 2 5 ∈ ℕ
2 1lt5 12338 . 2 1 < 5
3 2nn 12231 . . 3 2 ∈ ℕ
4 2nn0 12435 . . 3 2 ∈ ℕ0
5 1nn 12169 . . 3 1 ∈ ℕ
6 2t2e4 12322 . . . . 5 (2 · 2) = 4
76oveq1i 7368 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8 df-5 12224 . . . 4 5 = (4 + 1)
97, 8eqtr4i 2764 . . 3 ((2 · 2) + 1) = 5
10 1lt2 12329 . . 3 1 < 2
113, 4, 5, 9, 10ndvdsi 16299 . 2 ¬ 2 ∥ 5
12 3nn 12237 . . 3 3 ∈ ℕ
13 1nn0 12434 . . 3 1 ∈ ℕ0
14 3t1e3 12323 . . . . 5 (3 · 1) = 3
1514oveq1i 7368 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16 3p2e5 12309 . . . 4 (3 + 2) = 5
1715, 16eqtri 2761 . . 3 ((3 · 1) + 2) = 5
18 2lt3 12330 . . 3 2 < 3
1912, 13, 3, 17, 18ndvdsi 16299 . 2 ¬ 3 ∥ 5
20 5nn0 12438 . . 3 5 ∈ ℕ0
21 5lt10 12758 . . 3 5 < 10
223, 20, 20, 21declti 12661 . 2 5 < 25
231, 2, 11, 19, 22prmlem1 16985 1 5 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   · cmul 11061  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  5c5 12216  cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-prm 16553
This theorem is referenced by:  prmo5  17006  4001prm  17022  lt6abl  19677  bpos1  26647  12gcd5e1  40506  fmtno1prm  45837  fmtnofac1  45848  8gbe  46051  11gbo  46053  nnsum3primesle9  46072
  Copyright terms: Public domain W3C validator