Theorem 5prm 16884

Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
5prm	⊢ 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12138	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		1lt5 12232	. 2 ⊢ 1 < 5
3		2nn 12125	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		2nn0 12329	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn 12063	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t2e4 12216	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
7	6	oveq1i 7326	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8		df-5 12118	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
10		1lt2 12223	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 16197	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 5
12		3nn 12131	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1nn0 12328	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		3t1e3 12217	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
15	14	oveq1i 7326	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16		3p2e5 12203	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
17	15, 16	eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
18		2lt3 12224	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	12, 13, 3, 17, 18	ndvdsi 16197	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
20		5nn0 12332	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21		5lt10 12651	. . 3 ⊢ 5 < ;10
22	3, 20, 20, 21	declti 12554	. 2 ⊢ 5 < ;25
23	1, 2, 11, 19, 22	prmlem1 16883	1 ⊢ 5 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7316  1c1 10951   + caddc 10953   · cmul 10955  2c2 12107  3c3 12108  4c4 12109  5c5 12110  ℙcprime 16450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-sup 9277  df-inf 9278  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-rp 12810  df-fz 13319  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-dvds 16040  df-prm 16451

This theorem is referenced by:  prmo5  16904  4001prm  16920  lt6abl  19568  bpos1  26511  12gcd5e1  40237  fmtno1prm  45281  fmtnofac1  45292  8gbe  45495  11gbo  45497  nnsum3primesle9  45516