Theorem 5prm 16271

Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
5prm	⊢ 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 11571	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		1lt5 11665	. 2 ⊢ 1 < 5
3		2nn 11558	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		2nn0 11762	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn 11497	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t2e4 11649	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
7	6	oveq1i 7026	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8		df-5 11551	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2822	. . 3 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
10		1lt2 11656	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 5
12		3nn 11564	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1nn0 11761	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		3t1e3 11650	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
15	14	oveq1i 7026	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16		3p2e5 11636	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
17	15, 16	eqtri 2819	. . 3 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
18		2lt3 11657	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	12, 13, 3, 17, 18	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
20		5nn0 11765	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21		5lt10 12083	. . 3 ⊢ 5 < ;10
22	3, 20, 20, 21	declti 11985	. 2 ⊢ 5 < ;25
23	1, 2, 11, 19, 22	prmlem1 16270	1 ⊢ 5 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7016  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  ℙcprime 15844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845

This theorem is referenced by:  prmo5  16291  4001prm  16307  lt6abl  18736  bpos1  25541  fmtno1prm  43223  fmtnofac1  43234  8gbe  43440  11gbo  43442  nnsum3primesle9  43461