HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhis4-zf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axhis4-zf 28755
Description: Derive axiom ax-his4 28843 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
axhil.2 𝑈 ∈ CHilOLD
axhfi.1 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
axhis4-zf ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem axhis4-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2 𝑈 ∈ CHilOLD
2 df-hba 28727 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3 axhil.1 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
43fveq2i 6645 . . . 4 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
52, 4eqtr4i 2846 . . 3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6 df-h0v 28728 . . . 4 0 = (0vec‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
73fveq2i 6645 . . . 4 (0vec𝑈) = (0vec‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
86, 7eqtr4i 2846 . . 3 0 = (0vec𝑈)
9 axhfi.1 . . 3 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
105, 8, 9hlipgt0 28672 . 2 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
111, 10mp3an1 1444 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  cop 4545   class class class wbr 5038  cfv 6327  (class class class)co 7129  0cc0 10511   < clt 10649  BaseSetcba 28344  0veccn0v 28346  ·𝑖OLDcdip 28458  CHilOLDchlo 28643  chba 28677   + cva 28678   · csm 28679   ·ih csp 28680  normcno 28681  0c0v 28682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-sup 8880  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-rp 12365  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-seq 13350  df-exp 13411  df-hash 13672  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-clim 14821  df-sum 15019  df-grpo 28251  df-gid 28252  df-ginv 28253  df-ablo 28303  df-vc 28317  df-nv 28350  df-va 28353  df-ba 28354  df-sm 28355  df-0v 28356  df-nmcv 28358  df-dip 28459  df-cbn 28621  df-hlo 28644  df-hba 28727  df-h0v 28728
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator