Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwnexchand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnexchand 33103
Description: Deduction form of btwnexch 33102. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
btwnexchand.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
btwnexchand.2 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexchand.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexchand.4 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexchand.5 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexchand.6 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
btwnexchand.7 ((𝜑𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
Assertion
Ref Expression
btwnexchand ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Proof of Theorem btwnexchand
StepHypRef Expression
1 btwnexchand.6 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
2 btwnexchand.7 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
3 btwnexchand.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 btwnexchand.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 btwnexchand.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6 btwnexchand.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7 btwnexchand.5 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 btwnexch 33102 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
93, 4, 5, 6, 7, 8syl122anc 1372 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
109adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
111, 2, 10mp2and 695 1 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2081  cop 4482   class class class wbr 4966  cfv 6230  cn 11491  𝔼cee 26362   Btwn cbtwn 26363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-sum 14882  df-ee 26365  df-btwn 26366  df-cgr 26367  df-ofs 33060
This theorem is referenced by:  cgrxfr  33132  btwnconn1lem2  33165  btwnconn1lem12  33175  segletr  33191  segleantisym  33192  outsideoftr  33206  outsideofeq  33207  lineelsb2  33225
  Copyright terms: Public domain W3C validator