Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwnexchand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnexchand 32471
Description: Deduction form of btwnexch 32470. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
btwnexchand.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
btwnexchand.2 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexchand.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexchand.4 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexchand.5 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexchand.6 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
btwnexchand.7 ((𝜑𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
Assertion
Ref Expression
btwnexchand ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Proof of Theorem btwnexchand
StepHypRef Expression
1 btwnexchand.6 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
2 btwnexchand.7 . 2 ((𝜑𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
3 btwnexchand.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 btwnexchand.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 btwnexchand.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6 btwnexchand.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7 btwnexchand.5 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 btwnexch 32470 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
93, 4, 5, 6, 7, 8syl122anc 1485 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
109adantr 466 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
111, 2, 10mp2and 673 1 ((𝜑𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  cop 4323   class class class wbr 4787  cfv 6032  cn 11223  𝔼cee 25990   Btwn cbtwn 25991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8966  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12037  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-clim 14428  df-sum 14626  df-ee 25993  df-btwn 25994  df-cgr 25995  df-ofs 32428
This theorem is referenced by:  cgrxfr  32500  btwnconn1lem2  32533  btwnconn1lem12  32543  segletr  32559  segleantisym  32560  outsideoftr  32574  outsideofeq  32575  lineelsb2  32593
  Copyright terms: Public domain W3C validator