Theorem outsideoftr 36152

Description: Transitivity law for outsideness. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideoftr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem outsideoftr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → 𝐴 ≠ 𝑃)
2		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
3		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → 𝐶 ≠ 𝑃)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃))
5		simplr1 1216	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑃)
6		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑃)
7		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩))
8		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
14		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	btwnexchand 36049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
16	15	orcd 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
17	7, 16	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
18	17	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
19		simprlr 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
20		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
21		btwnconn3 36126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
22	8, 9, 10, 12, 11, 21	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
24	19, 20, 23	mp2and 699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
25	24	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
26	18, 25	jaod 859	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
27	26	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
28		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → 𝐵 ≠ 𝑃)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
30	29	necomd 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
31		simprlr 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
32		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
33		btwnconn1 36124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
34	8, 9, 11, 10, 12, 33	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → ((𝑃 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
36	30, 31, 32, 35	mp3and 1466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
37	36	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
38		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
39		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
40		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
41	8, 9, 12, 11, 10, 39, 40	btwnexchand 36049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
42	41	olcd 874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
43	38, 42	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
44	43	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
45	37, 44	jaod 859	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
46	45	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
47	27, 46	jaod 859	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
48	47	imp32 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
49	5, 6, 48	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
50	49	exp31 419	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
51	4, 50	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
52	51	impd 410	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
53		broutsideof2 36145	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
54	8, 9, 10, 11, 53	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
55		broutsideof2 36145	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
56	8, 9, 11, 12, 55	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
57	54, 56	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
58		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
59		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ↔ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))
60	58, 59	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
61		an4 656	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
62	60, 61	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
63	57, 62	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
64		broutsideof2 36145	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
65	8, 9, 10, 12, 64	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
66	52, 63, 65	3imtr4d 294	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  ℕcn 12245  𝔼cee 28872   Btwn cbtwn 28873  OutsideOfcoutsideof 36142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-ee 28875  df-btwn 28876  df-cgr 28877  df-ofs 36006  df-colinear 36062  df-ifs 36063  df-cgr3 36064  df-fs 36065  df-outsideof 36143

This theorem is referenced by: (None)