Theorem outsideoftr 36642

Description: Transitivity law for outsideness. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideoftr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem outsideoftr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → 𝐴 ≠ 𝑃)
2		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
3		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → 𝐶 ≠ 𝑃)
4	1, 2, 3	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃))
5		simplr1 1234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑃)
6		simplr3 1236	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑃)
7		df-3an 1105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩))
8		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		simp3r 1221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simp3l 1220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
14		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	btwnexchand 36539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
16	15	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
17	7, 16	sylan2br 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
18	17	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
19		simprlr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
20		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
21		btwnconn3 36616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
22	8, 9, 10, 12, 11, 21	syl122anc 1406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
24	19, 20, 23	mp2and 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
25	24	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
26	18, 25	jaod 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
27	26	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
28		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → 𝐵 ≠ 𝑃)
29	28	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
30	29	necomd 3016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
31		simprlr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
32		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
33		btwnconn1 36614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
34	8, 9, 11, 10, 12, 33	syl122anc 1406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → ((𝑃 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
36	30, 31, 32, 35	mp3and 1493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
37	36	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
38		df-3an 1105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
39		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
40		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
41	8, 9, 12, 11, 10, 39, 40	btwnexchand 36539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
42	41	olcd 888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
43	38, 42	sylan2br 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
44	43	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
45	37, 44	jaod 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
46	45	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
47	27, 46	jaod 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
48	47	imp32 424	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
49	5, 6, 48	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
50	49	exp31 425	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
51	4, 50	syl5 35	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
52	51	impd 416	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
53		broutsideof2 36635	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
54	8, 9, 10, 11, 53	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
55		broutsideof2 36635	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
56	8, 9, 11, 12, 55	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
57	54, 56	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
58		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
59		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ↔ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))
60	58, 59	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
61		an4 669	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
62	60, 61	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
63	57, 62	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
64		broutsideof2 36635	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
65	8, 9, 10, 12, 64	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
66	52, 63, 65	3imtr4d 297	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  ℕcn 12251  𝔼cee 29274   Btwn cbtwn 29275  OutsideOfcoutsideof 36632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-ee 29277  df-btwn 29278  df-cgr 29279  df-ofs 36496  df-colinear 36552  df-ifs 36553  df-cgr3 36554  df-fs 36555  df-outsideof 36633

This theorem is used by: (None)