Theorem outsideoftr 34431

Description: Transitivity law for outsideness. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideoftr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem outsideoftr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → 𝐴 ≠ 𝑃)
2		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
3		simprr 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → 𝐶 ≠ 𝑃)
4	1, 2, 3	3jca 1127	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃))
5		simplr1 1214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑃)
6		simplr3 1216	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑃)
7		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩))
8		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		simp3r 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		simp2r 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simp3l 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simpr2 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
14		simpr3 1195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	btwnexchand 34328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
16	15	orcd 870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
17	7, 16	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
18	17	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
19		simprlr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
20		simprr 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
21		btwnconn3 34405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
22	8, 9, 10, 12, 11, 21	syl122anc 1378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
24	19, 20, 23	mp2and 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
25	24	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
26	18, 25	jaod 856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
27	26	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
28		simpll2 1212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → 𝐵 ≠ 𝑃)
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 ≠ 𝑃)
30	29	necomd 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
31		simprlr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
32		simprr 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
33		btwnconn1 34403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
34	8, 9, 11, 10, 12, 33	syl122anc 1378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → ((𝑃 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
36	30, 31, 32, 35	mp3and 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
37	36	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
38		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
39		simpr3 1195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
40		simpr2 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
41	8, 9, 12, 11, 10, 39, 40	btwnexchand 34328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
42	41	olcd 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
43	38, 42	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
44	43	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
45	37, 44	jaod 856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
46	45	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
47	27, 46	jaod 856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
48	47	imp32 419	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
49	5, 6, 48	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
50	49	exp31 420	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
51	4, 50	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
52	51	impd 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
53		broutsideof2 34424	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
54	8, 9, 10, 11, 53	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
55		broutsideof2 34424	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
56	8, 9, 11, 12, 55	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
57	54, 56	anbi12d 631	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
58		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
59		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ↔ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))
60	58, 59	anbi12i 627	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
61		an4 653	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
62	60, 61	bitr4i 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
63	57, 62	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐵 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
64		broutsideof2 34424	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
65	8, 9, 10, 12, 64	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐶 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
66	52, 63, 65	3imtr4d 294	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  ℕcn 11973  𝔼cee 27256   Btwn cbtwn 27257  OutsideOfcoutsideof 34421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-ee 27259  df-btwn 27260  df-cgr 27261  df-ofs 34285  df-colinear 34341  df-ifs 34342  df-cgr3 34343  df-fs 34344  df-outsideof 34422

This theorem is referenced by: (None)