Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  outsideoftr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem outsideoftr 35039
Description: Transitivity law for outsideness. Theorem 6.7 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
outsideoftr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem outsideoftr
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . 5 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → 𝐴𝑃)
2 simplr 768 . . . . 5 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → 𝐵𝑃)
3 simprr 772 . . . . 5 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → 𝐶𝑃)
41, 2, 33jca 1129 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃))
5 simplr1 1216 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐴𝑃)
6 simplr3 1218 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → 𝐶𝑃)
7 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩))
8 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
11 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
13 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
14 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14btwnexchand 34936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
1615orcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
177, 16sylan2br 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
1817expr 458 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
19 simprlr 779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
20 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
21 btwnconn3 35013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
228, 9, 10, 12, 11, 21syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
2419, 20, 23mp2and 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
2524expr 458 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
2618, 25jaod 858 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
2726expr 458 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
28 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → 𝐵𝑃)
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵𝑃)
3029necomd 2997 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝑃𝐵)
31 simprlr 779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
32 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)
33 btwnconn1 35011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃𝐵𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
348, 9, 11, 10, 12, 33syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃𝐵𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → ((𝑃𝐵𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
3630, 31, 32, 35mp3and 1465 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
3736expr 458 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
38 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
39 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
40 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
418, 9, 12, 11, 10, 39, 40btwnexchand 34936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
4241olcd 873 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
4338, 42sylan2br 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
4443expr 458 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
4537, 44jaod 858 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
4645expr 458 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
4727, 46jaod 858 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ((𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
4847imp32 420 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
495, 6, 483jca 1129 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
5049exp31 421 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
514, 50syl5 34 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) → (((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))))
5251impd 412 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) → (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
53 broutsideof2 35032 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
548, 9, 10, 11, 53syl13anc 1373 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
55 broutsideof2 35032 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
568, 9, 11, 12, 55syl13anc 1373 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
5754, 56anbi12d 632 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ ((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
58 df-3an 1090 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
59 df-3an 1090 . . . . 5 ((𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ↔ ((𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))
6058, 59anbi12i 628 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
61 an4 655 . . . 4 ((((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ ((𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
6260, 61bitr4i 278 . . 3 (((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))))
6357, 62bitrdi 287 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐵𝑃𝐶𝑃)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)))))
64 broutsideof2 35032 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
658, 9, 10, 12, 64syl13anc 1373 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐶𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
6652, 63, 653imtr4d 294 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ 𝑃OutsideOf⟨𝐵, 𝐶⟩) → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐶⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088  wcel 2107  wne 2941  cop 4633   class class class wbr 5147  cfv 6540  cn 12208  𝔼cee 28126   Btwn cbtwn 28127  OutsideOfcoutsideof 35029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-ee 28129  df-btwn 28130  df-cgr 28131  df-ofs 34893  df-colinear 34949  df-ifs 34950  df-cgr3 34951  df-fs 34952  df-outsideof 35030
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator