Theorem cffldtocusgr 27717

Description: The field of complex numbers can be made a complete simple graph with the set of pairs of complex numbers regarded as edges. This theorem demonstrates the capabilities of the current definitions for graphs applied to extensible structures. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cffldtocusgr.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ∣ (♯‘𝑥) = 2}
cffldtocusgr.g	⊢ 𝐺 = (ℂfld sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)

Assertion

Ref	Expression
cffldtocusgr	⊢ 𝐺 ∈ ComplUSGraph

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃

Proof of Theorem cffldtocusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5373	. . . . . . 7 ⊢ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ V
2	1	tpid1 4701	. . . . . 6 ⊢ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
3	2	orci 861	. . . . 5 ⊢ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
4		elun 4079	. . . . 5 ⊢ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
5	3, 4	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6	5	orci 861	. . 3 ⊢ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20511	. . . . 5 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	7	eleq2i 2830	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld ↔ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
9		elun 4079	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
10	8, 9	bitri 274	. . 3 ⊢ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld ↔ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
11	6, 10	mpbir 230	. 2 ⊢ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld
12		cffldtocusgr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ∣ (♯‘𝑥) = 2}
13		cnfldbas 20514	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14	13	pweqi 4548	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ℂ = 𝒫 (Base‘ℂfld)
15	14	rabeqi 3406	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘ℂfld) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
16	12, 15	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘ℂfld) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
17		cnfldstr 20512	. . . 4 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld → ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩)
19		cffldtocusgr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (ℂfld sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
20		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
21		cnex 10883	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
22	20, 21	opeldm 5805	. . 3 ⊢ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld → (Base‘ndx) ∈ dom ℂfld)
23	16, 18, 19, 22	structtocusgr 27716	. 2 ⊢ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
24	11, 23	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐺 ∈ ComplUSGraph

Syntax hints:   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067   ∪ cun 3881  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  {ctp 4562  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   I cid 5479   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135  2c2 11958  3c3 11959  ;cdc 12366  ♯chash 13972  ∗ccj 14735  abscabs 14873   Struct cstr 16775   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  *_𝑟cstv 16890  TopSetcts 16894  lecple 16895  distcds 16897  UnifSetcunif 16898  MetOpencmopn 20500  metUnifcmetu 20501  ℂ_fldccnfld 20510  .efcedgf 27259  ComplUSGraphccusgr 27680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-cnfld 20511  df-edgf 27260  df-vtx 27271  df-iedg 27272  df-edg 27321  df-usgr 27424  df-nbgr 27603  df-uvtx 27656  df-cplgr 27681  df-cusgr 27682

This theorem is referenced by: (None)