MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmclim 24690
Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
lmclim.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lmclim ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Proof of Theorem lmclim
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 1096 . . 3 ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))))
2 lmclim.3 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uztrn2 12790 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4 3anass 1096 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)))
5 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
65sselda 3948 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
76biantrurd 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))))
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
98cnmetdval 24157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)))
109ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)))
1110breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯))
1211pm5.32da 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„‚ β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
147, 13bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
154, 14bitrid 283 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
163, 15sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1716anassrs 469 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1817ralbidva 3169 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1918rexbidva 3170 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
2019ralbidv 3171 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
2120pm5.32da 580 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯))))
2221anbi2d 630 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))))
231, 22bitrid 283 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))))
24 lmclim.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2524cnfldtopn 24168 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
26 cnxmet 24159 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
2726a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
28 simpl 484 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2925, 27, 2, 28lmmbr3 24647 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))))
30 simpll 766 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
31 simpr 486 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
32 eqidd 2734 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
332, 30, 31, 32clim2 15395 . . 3 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 ⇝ 𝑃 ↔ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯))))
3433pm5.32da 580 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))))
3523, 29, 343bitr4d 311 1 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  abscabs 15128   ⇝ cli 15375  TopOpenctopn 17311  βˆžMetcxmet 20804  β„‚fldccnfld 20819  β‡π‘‘clm 22600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-lm 22603
This theorem is referenced by:  lmclimf  24691
  Copyright terms: Public domain W3C validator