Theorem lmclim 24704

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lmclim.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lmclim	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Proof of Theorem lmclim

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
2		lmclim.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4		3anass 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)))
5		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
6	5	sselda 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
7	6	biantrurd 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
8		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 24171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)))
10	9	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)))
11	10	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))
12	11	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
13	12	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
14	7, 13	bitr3d 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
15	4, 14	bitrid 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
16	3, 15	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
17	16	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
18	17	ralbidva 3168	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
19	18	rexbidva 3169	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
20	19	ralbidv 3170	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
21	20	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
22	21	anbi2d 629	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
23	1, 22	bitrid 282	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
24		lmclim.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
25	24	cnfldtopn 24182	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
26		cnxmet 24173	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
28		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → 𝑀 ∈ ℤ)
29	25, 27, 2, 28	lmmbr3 24661	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
30		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
32		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
33	2, 30, 31, 32	clim2 15398	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → (𝐹 ⇝ 𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
34	33	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
35	23, 29, 34	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  dom cdm 5638   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑_pm cpm 8773  ℂcc 11058   < clt 11198   − cmin 11394  ℤcz 12508  ℤ_≥cuz 12772  ℝ⁺crp 12924  abscabs 15131   ⇝ cli 15378  TopOpenctopn 17317  ∞Metcxmet 20818  ℂ_fldccnfld 20833  ⇝_𝑡clm 22614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-fz 13435  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-struct 17030  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-rest 17318  df-topn 17319  df-topgen 17339  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-bases 22333  df-lm 22617

This theorem is referenced by:  lmclimf  24705