MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmclim 24820
Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
lmclim.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lmclim ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Proof of Theorem lmclim
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 1096 . . 3 ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))))
2 lmclim.3 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uztrn2 12841 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4 3anass 1096 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)))
5 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
65sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
76biantrurd 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))))
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
98cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)))
109ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)))
1110breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯))
1211pm5.32da 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„‚ β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
147, 13bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
154, 14bitrid 283 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
163, 15sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1716anassrs 469 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1817ralbidva 3176 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1918rexbidva 3177 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
2019ralbidv 3178 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
2120pm5.32da 580 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯))))
2221anbi2d 630 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))))
231, 22bitrid 283 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))))
24 lmclim.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2524cnfldtopn 24298 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
26 cnxmet 24289 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
2726a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
28 simpl 484 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2925, 27, 2, 28lmmbr3 24777 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))))
30 simpll 766 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
31 simpr 486 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
32 eqidd 2734 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
332, 30, 31, 32clim2 15448 . . 3 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 ⇝ 𝑃 ↔ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯))))
3433pm5.32da 580 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))))
3523, 29, 343bitr4d 311 1 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  abscabs 15181   ⇝ cli 15428  TopOpenctopn 17367  βˆžMetcxmet 20929  β„‚fldccnfld 20944  β‡π‘‘clm 22730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-lm 22733
This theorem is referenced by:  lmclimf  24821
  Copyright terms: Public domain W3C validator