Theorem lmclim 25353

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lmclim.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lmclim	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Proof of Theorem lmclim

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1105	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
2		lmclim.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4		3anass 1105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)))
5		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
6	5	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
7	6	biantrurd 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
8		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 24818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)))
10	9	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)))
11	10	breq1d 5107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))
12	11	pm5.32da 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
13	12	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
14	7, 13	bitr3d 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
15	4, 14	bitrid 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
16	3, 15	sylan2 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
17	16	anassrs 471	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
18	17	ralbidva 3182	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
19	18	rexbidva 3183	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
20	19	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
21	20	pm5.32da 587	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
22	21	anbi2d 639	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
23	1, 22	bitrid 285	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
24		lmclim.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
25	24	cnfldtopn 24829	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
26		cnxmet 24820	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
28		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → 𝑀 ∈ ℤ)
29	25, 27, 2, 28	lmmbr3 25310	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
30		simpll 776	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
32		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
33	2, 30, 31, 32	clim2 15522	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → (𝐹 ⇝ 𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
34	33	pm5.32da 587	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
35	23, 29, 34	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097  dom cdm 5643   ∘ ccom 5647  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ↑_pm cpm 8803  ℂcc 11065   < clt 11210   − cmin 11408  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ℝ⁺crp 12987  abscabs 15252   ⇝ cli 15502  TopOpenctopn 17441  ∞Metcxmet 21397  ℂ_fldccnfld 21412  ⇝_𝑡clm 23274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-struct 17174  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-rest 17442  df-topn 17443  df-topgen 17463  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-bases 22994  df-lm 23277

This theorem is referenced by:  lmclimf  25354