Theorem lmclim 24048

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lmclim.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lmclim	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Proof of Theorem lmclim

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1096	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
2		lmclim.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4		3anass 1096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)))
5		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
6	5	sselda 3875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
7	6	biantrurd 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
8		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 23516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)))
10	9	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)))
11	10	breq1d 5037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))
12	11	pm5.32da 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
13	12	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
14	7, 13	bitr3d 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
15	4, 14	syl5bb 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
16	3, 15	sylan2 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
17	16	anassrs 471	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
18	17	ralbidva 3108	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
19	18	rexbidva 3205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
20	19	ralbidv 3109	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))
21	20	pm5.32da 582	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
22	21	anbi2d 632	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
23	1, 22	syl5bb 286	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
24		lmclim.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
25	24	cnfldtopn 23527	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
26		cnxmet 23518	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
28		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → 𝑀 ∈ ℤ)
29	25, 27, 2, 28	lmmbr3 24005	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑘)(abs ∘ − )𝑃) < 𝑥))))
30		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
32		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
33	2, 30, 31, 32	clim2 14944	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → (𝐹 ⇝ 𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥))))
34	33	pm5.32da 582	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑃 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑃)) < 𝑥)))))
35	23, 29, 34	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3053  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3841   class class class wbr 5027  dom cdm 5519   ∘ ccom 5523  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   ↑_pm cpm 8431  ℂcc 10606   < clt 10746   − cmin 10941  ℤcz 12055  ℤ_≥cuz 12317  ℝ⁺crp 12465  abscabs 14676   ⇝ cli 14924  TopOpenctopn 16791  ∞Metcxmet 20195  ℂ_fldccnfld 20210  ⇝_𝑡clm 21970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-fz 12975  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-rest 16792  df-topn 16793  df-topgen 16813  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-bases 21690  df-lm 21973

This theorem is referenced by:  lmclimf  24049