MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmclim 25044
Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
lmclim.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lmclim ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))

Proof of Theorem lmclim
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 1095 . . 3 ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))))
2 lmclim.3 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uztrn2 12845 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)))
5 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
65sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
76biantrurd 533 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))))
8 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
98cnmetdval 24507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)))
109ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)))
1110breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯))
1211pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„‚ β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1312ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
147, 13bitr3d 280 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
154, 14bitrid 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
163, 15sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1716anassrs 468 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1817ralbidva 3175 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
1918rexbidva 3176 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
2019ralbidv 3177 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))
2120pm5.32da 579 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯))))
2221anbi2d 629 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))))
231, 22bitrid 282 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))))
24 lmclim.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2524cnfldtopn 24518 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
26 cnxmet 24509 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
2726a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
28 simpl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2925, 27, 2, 28lmmbr3 25001 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(abs ∘ βˆ’ )𝑃) < π‘₯))))
30 simpll 765 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
31 simpr 485 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
32 eqidd 2733 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
332, 30, 31, 32clim2 15452 . . 3 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 ⇝ 𝑃 ↔ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯))))
3433pm5.32da 579 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ (𝑃 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝑃)) < π‘₯)))))
3523, 29, 343bitr4d 310 1 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑍 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝐹 ⇝ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  abscabs 15185   ⇝ cli 15432  TopOpenctopn 17371  βˆžMetcxmet 21129  β„‚fldccnfld 21144  β‡π‘‘clm 22950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-lm 22953
This theorem is referenced by:  lmclimf  25045
  Copyright terms: Public domain W3C validator