MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgr1term Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgr1term 26009
Description: The degree of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1term.1 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (𝑧↑𝑁)))
Assertion
Ref Expression
dgr1term ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)
Proof of Theorem dgr1term
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1term.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (𝑧↑𝑁)))
21coe1termlem 26007 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)))
32simprd 494 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁))
433impia 1115 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)
543com23 1124 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112   Β· cmul 11117  β„•0cn0 12476  β†‘cexp 14031  coeffccoe 25935  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by:  dgrid  26014  dgrcolem2  26024  plydivlem4  26045
  Copyright terms: Public domain W3C validator