Theorem coe1term 26242

Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
coe1term	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem coe1term

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1term.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
2	1	coe1termlem 26241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 ≠ 0 → (deg‘𝐹) = 𝑁)))
3	2	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (coeff‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)))
4	3	fveq1d 6829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑀))
5	4	3adant3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑀))
6		eqid 2739	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))
7		eqeq1 2743	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
8	7	ifbid 4478	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))
9		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		0cn 11127	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
12		ifcl 4500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	sylancl 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
14	6, 8, 9, 13	fvmptd3 6959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))
15	5, 14	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ifcif 4454   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014  coeffccoe 26169  degcdgr 26170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-0p 25655  df-ply 26171  df-coe 26173  df-dgr 26174

This theorem is referenced by:  coeidp  26246  dgrcolem2  26257  plydivlem4  26280