Theorem coe1term 26587

Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
coe1term	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem coe1term

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1term.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
2	1	coe1termlem 26586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 ≠ 0 → (deg‘𝐹) = 𝑁)))
3	2	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (coeff‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)))
4	3	fveq1d 6892	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑀))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑀))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))
7		eqeq1 2764	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
8	7	ifbid 4505	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))
9		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		0cn 11305	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
12		ifcl 4527	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
14	6, 8, 9, 13	fvmptd3 7022	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))
15	5, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207   · cmul 11212  ℕ₀cn0 12613  ↑cexp 14211  coeffccoe 26513  degcdgr 26514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-0p 26000  df-ply 26515  df-coe 26517  df-dgr 26518

This theorem is used by:  coeidp  26591  dgrcolem2  26602  plydivlem4  26626