MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1term Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1term 24452
Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1term.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
Assertion
Ref Expression
coe1term ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem coe1term
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1term.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
21coe1termlem 24451 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 ≠ 0 → (deg‘𝐹) = 𝑁)))
32simpld 490 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (coeff‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)))
43fveq1d 6448 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑀))
543adant3 1123 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑀))
6 eqid 2778 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))
7 eqeq1 2782 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 = 𝑁𝑀 = 𝑁))
87ifbid 4329 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))
9 simp3 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 simp1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 0cn 10368 . . . 4 0 ∈ ℂ
12 ifcl 4351 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
1310, 11, 12sylancl 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
146, 8, 9, 13fvmptd3 6564 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))
155, 14eqtrd 2814 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑁, 𝐴, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  ifcif 4307  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272   · cmul 10277  0cn0 11642  cexp 13178  coeffccoe 24379  degcdgr 24380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-0p 23874  df-ply 24381  df-coe 24383  df-dgr 24384
This theorem is referenced by:  coeidp  24456  dgrcolem2  24467  plydivlem4  24488
  Copyright terms: Public domain W3C validator