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Theorem coe1termlem 25763
Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1term.1 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (𝑧↑𝑁)))
Assertion
Ref Expression
coe1termlem ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑛)
Proof of Theorem coe1termlem
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4003 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
2 coe1term.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (𝑧↑𝑁)))
32ply1term 25709 . . . 4 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
41, 3mp3an1 1448 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7 0cn 11202 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
8 ifcl 4572 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
96, 7, 8sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
109adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1110fmpttd 7111 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚)
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))
13 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 = 𝑁 ↔ π‘˜ = 𝑁))
1413ifbid 4550 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0))
15 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
16 ifcl 4572 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
176, 7, 16sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1817adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1912, 14, 15, 18fvmptd3 7018 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0))
2019neeq1d 3000 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0))
21 nn0re 12477 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2221leidd 11776 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
2322ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
24 iffalse 4536 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ = 𝑁 β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
2524necon1ai 2968 . . . . . . . 8 (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ π‘˜ = 𝑁)
2625breq1d 5157 . . . . . . 7 (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ 𝑁 ≀ 𝑁))
2723, 26syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
2820, 27sylbid 239 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
2928ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
30 plyco0 25697 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
315, 11, 30syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
3229, 31mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
332ply1termlem 25708 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
34 elfznn0 13590 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3519oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3634, 35sylan2 593 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3736sumeq2dv 15645 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3837mpteq2dv 5249 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
3933, 38eqtr4d 2775 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
404, 5, 11, 32, 39coeeq 25732 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)))
414adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
425adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4311adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚)
4432adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
4539adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
46 iftrue 4533 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
4746, 12fvmptg 6993 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) = 𝐴)
4847ancoms 459 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) = 𝐴)
4948neeq1d 3000 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  0))
5049biimpar 478 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) β‰  0)
5141, 42, 43, 44, 45, 50dgreq 25749 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)
5251ex 413 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁))
5340, 52jca 512 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628  Polycply 25689  coeffccoe 25691  degcdgr 25692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-0p 25178  df-ply 25693  df-coe 25695  df-dgr 25696
This theorem is referenced by:  coe1term  25764  dgr1term  25765
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