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Theorem coe1termlem 26208
Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1term.1 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (𝑧↑𝑁)))
Assertion
Ref Expression
coe1termlem ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑛)
Proof of Theorem coe1termlem
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3995 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
2 coe1term.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (𝑧↑𝑁)))
32ply1term 26154 . . . 4 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
41, 3mp3an1 1444 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5 simpr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7 0cn 11234 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
8 ifcl 4569 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
96, 7, 8sylancl 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
109adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1110fmpttd 7119 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚)
12 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))
13 eqeq1 2729 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 = 𝑁 ↔ π‘˜ = 𝑁))
1413ifbid 4547 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0))
15 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
16 ifcl 4569 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
176, 7, 16sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1817adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1912, 14, 15, 18fvmptd3 7022 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0))
2019neeq1d 2990 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0))
21 nn0re 12509 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2221leidd 11808 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
2322ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
24 iffalse 4533 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ = 𝑁 β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
2524necon1ai 2958 . . . . . . . 8 (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ π‘˜ = 𝑁)
2625breq1d 5153 . . . . . . 7 (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ 𝑁 ≀ 𝑁))
2723, 26syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
2820, 27sylbid 239 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
2928ralrimiva 3136 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
30 plyco0 26142 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
315, 11, 30syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
3229, 31mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
332ply1termlem 26153 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
34 elfznn0 13624 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3519oveq1d 7430 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3634, 35sylan2 591 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3736sumeq2dv 15679 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3837mpteq2dv 5245 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
3933, 38eqtr4d 2768 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
404, 5, 11, 32, 39coeeq 26177 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)))
414adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
425adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4311adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚)
4432adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
4539adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
46 iftrue 4530 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
4746, 12fvmptg 6997 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) = 𝐴)
4847ancoms 457 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) = 𝐴)
4948neeq1d 2990 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  0))
5049biimpar 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) β‰  0)
5141, 42, 43, 44, 45, 50dgreq 26194 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)
5251ex 411 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁))
5340, 52jca 510 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3940  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   ≀ cle 11277  β„•0cn0 12500  β„€β‰₯cuz 12850  ...cfz 13514  β†‘cexp 14056  Ξ£csu 15662  Polycply 26134  coeffccoe 26136  degcdgr 26137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-0p 25615  df-ply 26138  df-coe 26140  df-dgr 26141
This theorem is referenced by:  coe1term  26209  dgr1term  26210
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