MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1termlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1termlem 26166
Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1term.1 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (𝑧↑𝑁)))
Assertion
Ref Expression
coe1termlem ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑛)
Proof of Theorem coe1termlem
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4000 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
2 coe1term.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (𝑧↑𝑁)))
32ply1term 26112 . . . 4 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
41, 3mp3an1 1445 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5 simpr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7 0cn 11222 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
8 ifcl 4569 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
96, 7, 8sylancl 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
109adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1110fmpttd 7119 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚)
12 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))
13 eqeq1 2731 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 = 𝑁 ↔ π‘˜ = 𝑁))
1413ifbid 4547 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0))
15 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
16 ifcl 4569 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
176, 7, 16sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1912, 14, 15, 18fvmptd3 7022 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0))
2019neeq1d 2995 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0))
21 nn0re 12497 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2221leidd 11796 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
2322ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
24 iffalse 4533 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ = 𝑁 β†’ if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
2524necon1ai 2963 . . . . . . . 8 (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ π‘˜ = 𝑁)
2625breq1d 5152 . . . . . . 7 (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ 𝑁 ≀ 𝑁))
2723, 26syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
2820, 27sylbid 239 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
2928ralrimiva 3141 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
30 plyco0 26100 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
315, 11, 30syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
3229, 31mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
332ply1termlem 26111 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
34 elfznn0 13612 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3519oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3634, 35sylan2 592 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3736sumeq2dv 15667 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
3837mpteq2dv 5244 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(if(π‘˜ = 𝑁, 𝐴, 0) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
3933, 38eqtr4d 2770 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
404, 5, 11, 32, 39coeeq 26135 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)))
414adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
425adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4311adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚)
4432adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
4539adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
46 iftrue 4530 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
4746, 12fvmptg 6997 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) = 𝐴)
4847ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) = 𝐴)
4948neeq1d 2995 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  0))
5049biimpar 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘) β‰  0)
5141, 42, 43, 44, 45, 50dgreq 26152 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)
5251ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁))
5340, 52jca 511 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 β‰  0 β†’ (degβ€˜πΉ) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   ≀ cle 11265  β„•0cn0 12488  β„€β‰₯cuz 12838  ...cfz 13502  β†‘cexp 14044  Ξ£csu 15650  Polycply 26092  coeffccoe 26094  degcdgr 26095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-0p 25573  df-ply 26096  df-coe 26098  df-dgr 26099
This theorem is referenced by:  coe1term  26167  dgr1term  26168
  Copyright terms: Public domain W3C validator