Theorem coe1termlem 24462

Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
coe1termlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 ≠ 0 → (deg‘𝐹) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑛)

Proof of Theorem coe1termlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3842	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		coe1term.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
3	2	ply1term 24408	. . . 4 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
4	1, 3	mp3an1 1521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
5		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		0cn 10370	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
8		ifcl 4351	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	sylancl 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
10	9	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
11	10	fmpttd 6651	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ)
12		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))
13		eqeq1 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 = 𝑁 ↔ 𝑘 = 𝑁))
14	13	ifbid 4329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0))
15		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		ifcl 4351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
17	6, 7, 16	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
18	17	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
19	12, 14, 15, 18	fvmptd3 6566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0))
20	19	neeq1d 3028	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0))
21		nn0re 11657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	leidd 10944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
23	22	ad2antlr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 𝑁)
24		iffalse 4316	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
25	24	necon1ai 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑘 = 𝑁)
26	25	breq1d 4898	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
27	23, 26	syl5ibrcom 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
28	20, 27	sylbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
29	28	ralrimiva 3148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
30		plyco0 24396	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
31	5, 11, 30	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
32	29, 31	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
33	2	ply1termlem 24407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))
34		elfznn0 12756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	19	oveq1d 6939	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)))
36	34, 35	sylan2 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)))
37	36	sumeq2dv 14850	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)))
38	37	mpteq2dv 4982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))
39	33, 38	eqtr4d 2817	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
40	4, 5, 11, 32, 39	coeeq 24431	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (coeff‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)))
41	4	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
42	5	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	11	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ)
44	32	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
45	39	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
46		iftrue 4313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
47	46, 12	fvmptg 6542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑁) = 𝐴)
48	47	ancoms 452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑁) = 𝐴)
49	48	neeq1d 3028	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑁) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
50	49	biimpar 471	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑁) ≠ 0)
51	41, 42, 43, 44, 45, 50	dgreq 24448	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (deg‘𝐹) = 𝑁)
52	51	ex 403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≠ 0 → (deg‘𝐹) = 𝑁))
53	40, 52	jca 507	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑁, 𝐴, 0)) ∧ (𝐴 ≠ 0 → (deg‘𝐹) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090   ⊆ wss 3792  ifcif 4307  {csn 4398   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967   “ cima 5360  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   ≤ cle 10414  ℕ₀cn0 11647  ℤ_≥cuz 11997  ...cfz 12648  ↑cexp 13183  Σcsu 14833  Polycply 24388  coeffccoe 24390  degcdgr 24391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-clim 14636  df-rlim 14637  df-sum 14834  df-0p 23885  df-ply 24392  df-coe 24394  df-dgr 24395

This theorem is referenced by:  coe1term  24463  dgr1term  24464