Theorem rrxlinec 49985

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a generalized real Euclidean space of finite dimension, expressed by its coordinates. Remark: This proof is shorter and requires less distinct variables than the proof using rrxlinesc 49984. (Contributed by AV, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxlinesc.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlinesc.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlinesc.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxlinec	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡   𝑖,𝐼,𝑝,𝑡   𝑃,𝑖,𝑝,𝑡   𝑖,𝑋,𝑝,𝑡   𝑖,𝑌,𝑝,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝐿(𝑡, 𝑖, 𝑝)

Proof of Theorem rrxlinec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxlinesc.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2		rrxlinesc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrxlinesc.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐸) = ( ·𝑠 ‘𝐸)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝐸) = (+g‘𝐸)
6	1, 2, 3, 4, 5	rrxline 49983	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑋)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑌))})
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
8		simplll 787	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
9		1red 11316	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11	9, 10	resubcld 11751	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
12		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
13	12, 1, 7	rrxbasefi 25740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
14	2, 13	eqtr4id 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
15	14	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐸)))
16	15	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 ∈ (Base‘𝐸)))
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 ∈ (Base‘𝐸)))
18	17	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐸))
19	18	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐸))
20	14	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘𝐸)))
21	20	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 ∈ (Base‘𝐸)))
22	21	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 ∈ (Base‘𝐸)))
23	22	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐸))
24	23	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐸))
25	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑃 = (Base‘𝐸))
26	25	eleq2d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↔ 𝑝 ∈ (Base‘𝐸)))
27	26	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
29	1, 7, 4, 8, 11, 19, 24, 28, 5, 10	rrxplusgvscavalb 25725	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑋)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑌)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))))
30	29	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑋)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑌)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))))
31	30	rabbidva 3418	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑋)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑌))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})
32	6, 31	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑌‘𝑖)))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8981  ℝcr 11206  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437   ·_𝑠 cvsca 17441  ℝ^crrx 25713  Line_Mcline 49976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-tpos 8251  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-rhm 20711  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-drng 20991  df-field 20992  df-staf 21105  df-srng 21106  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-cnfld 21688  df-refld 21920  df-dsmm 22047  df-frlm 22062  df-tng 24912  df-tcph 25499  df-rrx 25715  df-line 49978

This theorem is used by:  rrx2line  49988