Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxlinec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxlinec 44714
 Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a generalized real Euclidean space of finite dimension, expressed by its coordinates. Remark: This proof is shorter and requires less distinct variables than the proof using rrxlinesc 44713. (Contributed by AV, 13-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxlinesc.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlinesc.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlinesc.l 𝐿 = (LineM𝐸)
Assertion
Ref Expression
rrxlinec ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖)))})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡   𝑖,𝐼,𝑝,𝑡   𝑃,𝑖,𝑝,𝑡   𝑖,𝑋,𝑝,𝑡   𝑖,𝑌,𝑝,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝐿(𝑡,𝑖,𝑝)

Proof of Theorem rrxlinec
StepHypRef Expression
1 rrxlinesc.e . . 3 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2 rrxlinesc.p . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3 rrxlinesc.l . . 3 𝐿 = (LineM𝐸)
4 eqid 2819 . . 3 ( ·𝑠𝐸) = ( ·𝑠𝐸)
5 eqid 2819 . . 3 (+g𝐸) = (+g𝐸)
61, 2, 3, 4, 5rrxline 44712 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠𝐸)𝑋)(+g𝐸)(𝑡( ·𝑠𝐸)𝑌))})
7 eqid 2819 . . . . 5 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
8 simplll 773 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
9 1red 10634 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
10 simpr 487 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
119, 10resubcld 11060 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
1312, 1, 7rrxbasefi 24005 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
1413, 2syl6reqr 2873 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
1514eleq2d 2896 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐸)))
1615biimpcd 251 . . . . . . . 8 (𝑋𝑃 → (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 ∈ (Base‘𝐸)))
17163ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 ∈ (Base‘𝐸)))
1817impcom 410 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐸))
1918ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐸))
2014eleq2d 2896 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐸)))
2120biimpcd 251 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃 → (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 ∈ (Base‘𝐸)))
22213ad2ant2 1129 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 ∈ (Base‘𝐸)))
2322impcom 410 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐸))
2423ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐸))
2514adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → 𝑃 = (Base‘𝐸))
2625eleq2d 2896 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑝𝑃𝑝 ∈ (Base‘𝐸)))
2726biimpa 479 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
2827adantr 483 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
291, 7, 4, 8, 11, 19, 24, 28, 5, 10rrxplusgvscavalb 23990 . . . 4 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠𝐸)𝑋)(+g𝐸)(𝑡( ·𝑠𝐸)𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖)))))
3029rexbidva 3294 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠𝐸)𝑋)(+g𝐸)(𝑡( ·𝑠𝐸)𝑌)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖)))))
3130rabbidva 3477 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠𝐸)𝑋)(+g𝐸)(𝑡( ·𝑠𝐸)𝑌))} = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖)))})
326, 31eqtrd 2854 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑋𝑖)) + (𝑡 · (𝑌𝑖)))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  {crab 3140  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8398  Fincfn 8501  ℝcr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   − cmin 10862  Basecbs 16475  +gcplusg 16557   ·𝑠 cvsca 16561  ℝ^crrx 23978  LineMcline 44705 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-rnghom 19459  df-drng 19496  df-field 19497  df-subrg 19525  df-staf 19608  df-srng 19609  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-cnfld 20538  df-refld 20741  df-dsmm 20868  df-frlm 20883  df-tng 23186  df-tcph 23765  df-rrx 23980  df-line 44707 This theorem is referenced by:  rrx2line  44718
 Copyright terms: Public domain W3C validator