Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxlinec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxlinec 47694
Description: The line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a generalized real Euclidean space of finite dimension, expressed by its coordinates. Remark: This proof is shorter and requires less distinct variables than the proof using rrxlinesc 47693. (Contributed by AV, 13-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxlinesc.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrxlinesc.p ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrxlinesc.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
Assertion
Ref Expression
rrxlinec ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)))})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘,๐‘ก   ๐‘–,๐ผ,๐‘,๐‘ก   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘,๐‘ก   ๐‘–,๐‘‹,๐‘,๐‘ก   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘–)   ๐ฟ(๐‘ก,๐‘–,๐‘)

Proof of Theorem rrxlinec
StepHypRef Expression
1 rrxlinesc.e . . 3 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
2 rrxlinesc.p . . 3 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
3 rrxlinesc.l . . 3 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
4 eqid 2726 . . 3 ( ยท๐‘  โ€˜๐ธ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)
5 eqid 2726 . . 3 (+gโ€˜๐ธ) = (+gโ€˜๐ธ)
61, 2, 3, 4, 5rrxline 47692 . 2 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก)( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)๐‘‹)(+gโ€˜๐ธ)(๐‘ก( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)๐‘Œ))})
7 eqid 2726 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ธ) = (Baseโ€˜๐ธ)
8 simplll 772 . . . . 5 ((((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ผ โˆˆ Fin)
9 1red 11219 . . . . . 6 ((((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10 simpr 484 . . . . . 6 ((((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
119, 10resubcld 11646 . . . . 5 ((((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) โˆˆ โ„)
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ ๐ผ โˆˆ Fin)
1312, 1, 7rrxbasefi 25293 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ (Baseโ€˜๐ธ) = (โ„ โ†‘m ๐ผ))
142, 13eqtr4id 2785 . . . . . . . . . 10 (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘ƒ = (Baseโ€˜๐ธ))
1514eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†” ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ)))
1615biimpcd 248 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ)))
17163ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ)))
1817impcom 407 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ))
1918ad2antrr 723 . . . . 5 ((((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ))
2014eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†” ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ)))
2120biimpcd 248 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ)))
22213ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ)))
2322impcom 407 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ))
2423ad2antrr 723 . . . . 5 ((((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ))
2514adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘ƒ = (Baseโ€˜๐ธ))
2625eleq2d 2813 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†” ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ)))
2726biimpa 476 . . . . . 6 (((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ))
2827adantr 480 . . . . 5 ((((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ธ))
291, 7, 4, 8, 11, 19, 24, 28, 5, 10rrxplusgvscavalb 25278 . . . 4 ((((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก)( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)๐‘‹)(+gโ€˜๐ธ)(๐‘ก( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)๐‘Œ)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)))))
3029rexbidva 3170 . . 3 (((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก)( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)๐‘‹)(+gโ€˜๐ธ)(๐‘ก( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)๐‘Œ)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)))))
3130rabbidva 3433 . 2 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก)( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)๐‘‹)(+gโ€˜๐ธ)(๐‘ก( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)๐‘Œ))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)))})
326, 31eqtrd 2766 1 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘โ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜๐‘–)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  Basecbs 17153  +gcplusg 17206   ยท๐‘  cvsca 17210  โ„^crrx 25266  LineMcline 47685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-tng 24448  df-tcph 25052  df-rrx 25268  df-line 47687
This theorem is referenced by:  rrx2line  47698
  Copyright terms: Public domain W3C validator