Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eenglngeehlnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eenglngeehlnm 47415
Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry (see elntg 28239) corresponds to the definition of lines passing through two different points in a left module (see rrxlines 47409). (Contributed by AV, 16-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
eenglngeehlnm (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)))

Proof of Theorem eenglngeehlnm
Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑛 𝑣 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eengbas 28236 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π”Όβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)))
21eqcomd 2738 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘))
3 oveq2 7416 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (1...𝑛) = (1...𝑁))
43oveq2d 7424 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (ℝ ↑m (1...𝑛)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
5 df-ee 28146 . . . . 5 𝔼 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
6 ovex 7441 . . . . 5 (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6998 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π”Όβ€˜π‘) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
82, 7eqtrd 2772 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
92ancli 549 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘)))
109, 8jca 512 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))))
11 difeq1 4115 . . . . 5 ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
1211ad2antlr 725 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
1310, 12sylan 580 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
148adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
15 simpll 765 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
168eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ↔ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
1716biimpcd 248 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
1918impcom 408 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
2019adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
218difeq1d 4121 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
2221eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) ↔ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})))
2322biimpd 228 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})))
2423adantld 491 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})))
2524imp 407 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
2625adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
2714eleq2d 2819 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ↔ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
2827biimpa 477 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
29 eenglngeehlnmlem1 47413 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
30 eenglngeehlnmlem2 47414 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))))
3129, 30impbid 211 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3215, 20, 26, 28, 31syl31anc 1373 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3314, 32rabeqbidva 3448 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∣ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))})
348, 13, 33mpoeq123dva 7482 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)), 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∣ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))}) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
35 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))
36 eqid 2732 . . 3 (1...𝑁) = (1...𝑁)
3735, 36elntg2 28240 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)), 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∣ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))}))
38 nnnn0 12478 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
39 eqid 2732 . . . . . 6 (𝔼hilβ€˜π‘) = (𝔼hilβ€˜π‘)
4039ehlval 24930 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜π‘) = (ℝ^β€˜(1...𝑁)))
4138, 40syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝔼hilβ€˜π‘) = (ℝ^β€˜(1...𝑁)))
4241fveq2d 6895 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)) = (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))))
43 fzfid 13937 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
44 eqid 2732 . . . . 5 (ℝ^β€˜(1...𝑁)) = (ℝ^β€˜(1...𝑁))
45 eqid 2732 . . . . 5 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))
46 eqid 2732 . . . . 5 (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁)))
4744, 45, 46rrxlinesc 47411 . . . 4 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
4843, 47syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
4942, 48eqtrd 2772 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
5034, 37, 493eqtr4d 2782 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βˆ– cdif 3945  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  (,]cioc 13324  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  Basecbs 17143  β„^crrx 24899  π”Όhilcehl 24900  LineGclng 27682  π”Όcee 28143  EEGceeng 28232  LineMcline 47403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-field 20359  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-refld 21157  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-tng 24092  df-tcph 24685  df-rrx 24901  df-ehl 24902  df-itv 27683  df-lng 27684  df-ee 28146  df-btwn 28147  df-eeng 28233  df-line 47405
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator