Theorem eenglngeehlnm 49052

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry (see elntg 29061) corresponds to the definition of lines passing through two different points in a left module (see rrxlines 49046). (Contributed by AV, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eenglngeehlnm	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Proof of Theorem eenglngeehlnm

Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑡 𝑥 𝑦 𝑛 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengbas 29058	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
2	1	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁))
3		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
4	3	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℝ ↑m (1...𝑛)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
5		df-ee 28967	. . . . 5 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
6		ovex 7393	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6942	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
8	2, 7	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
9	2	ancli 548	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)))
10	9, 8	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))))
11		difeq1 4072	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
12	11	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
13	10, 12	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
14	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
15		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	8	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
17	16	biimpcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
19	18	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
21	8	difeq1d 4078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
22	21	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
23	22	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
24	23	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
25	24	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
27	14	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
28	27	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
29		eenglngeehlnmlem1 49050	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
30		eenglngeehlnmlem2 49051	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖))) → (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))))
31	29, 30	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
32	15, 20, 26, 28, 31	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
33	14, 32	rabeqbidva 3416	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))})
34	8, 13, 33	mpoeq123dva 7434	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
35		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (Base‘(EEG‘𝑁))
36		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1...𝑁) = (1...𝑁)
37	35, 36	elntg2 29062	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}))
38		nnnn0 12412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝔼hil‘𝑁) = (𝔼hil‘𝑁)
40	39	ehlval 25374	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
41	38, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
42	41	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
43		fzfid 13900	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
44		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘(1...𝑁))
45		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))
46		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
47	44, 45, 46	rrxlinesc 49048	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
48	43, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
49	42, 48	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
50	34, 37, 49	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {crab 3400   ∖ cdif 3899  {csn 4581  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11368  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  (,]cioc 13266  [,)cico 13267  [,]cicc 13268  ...cfz 13427  Basecbs 17140  ℝ^crrx 25343  𝔼_hilcehl 25344  LineGclng 28510  𝔼cee 28964  EEGceeng 29054  Line_Mcline 49040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-sum 15614  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-drng 20668  df-field 20669  df-staf 20776  df-srng 20777  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-cnfld 21314  df-refld 21564  df-dsmm 21691  df-frlm 21706  df-tng 24532  df-tcph 25129  df-rrx 25345  df-ehl 25346  df-itv 28511  df-lng 28512  df-ee 28967  df-btwn 28968  df-eeng 29055  df-line 49042

This theorem is referenced by: (None)