Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eenglngeehlnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eenglngeehlnm 46915
Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry (see elntg 27982) corresponds to the definition of lines passing through two different points in a left module (see rrxlines 46909). (Contributed by AV, 16-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
eenglngeehlnm (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)))

Proof of Theorem eenglngeehlnm
Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑛 𝑣 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eengbas 27979 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π”Όβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)))
21eqcomd 2739 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘))
3 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (1...𝑛) = (1...𝑁))
43oveq2d 7377 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (ℝ ↑m (1...𝑛)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
5 df-ee 27889 . . . . 5 𝔼 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
6 ovex 7394 . . . . 5 (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6952 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π”Όβ€˜π‘) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
82, 7eqtrd 2773 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
92ancli 550 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘)))
109, 8jca 513 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))))
11 difeq1 4079 . . . . 5 ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
1211ad2antlr 726 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
1310, 12sylan 581 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
148adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
15 simpll 766 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
168eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ↔ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
1716biimpcd 249 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
1918impcom 409 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
2019adantr 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
218difeq1d 4085 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
2221eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) ↔ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})))
2322biimpd 228 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})))
2423adantld 492 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})))
2524imp 408 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
2625adantr 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
2714eleq2d 2820 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ↔ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
2827biimpa 478 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
29 eenglngeehlnmlem1 46913 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
30 eenglngeehlnmlem2 46914 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))))
3129, 30impbid 211 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3215, 20, 26, 28, 31syl31anc 1374 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3314, 32rabeqbidva 3422 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∣ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))})
348, 13, 33mpoeq123dva 7435 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)), 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∣ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))}) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
35 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))
36 eqid 2733 . . 3 (1...𝑁) = (1...𝑁)
3735, 36elntg2 27983 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)), 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∣ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))}))
38 nnnn0 12428 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
39 eqid 2733 . . . . . 6 (𝔼hilβ€˜π‘) = (𝔼hilβ€˜π‘)
4039ehlval 24801 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜π‘) = (ℝ^β€˜(1...𝑁)))
4138, 40syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝔼hilβ€˜π‘) = (ℝ^β€˜(1...𝑁)))
4241fveq2d 6850 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)) = (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))))
43 fzfid 13887 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
44 eqid 2733 . . . . 5 (ℝ^β€˜(1...𝑁)) = (ℝ^β€˜(1...𝑁))
45 eqid 2733 . . . . 5 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))
46 eqid 2733 . . . . 5 (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁)))
4744, 45, 46rrxlinesc 46911 . . . 4 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
4843, 47syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
4942, 48eqtrd 2773 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
5034, 37, 493eqtr4d 2783 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3911  {csn 4590  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  (,]cioc 13274  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  ...cfz 13433  Basecbs 17091  β„^crrx 24770  π”Όhilcehl 24771  LineGclng 27425  π”Όcee 27886  EEGceeng 27975  LineMcline 46903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-ehl 24773  df-itv 27426  df-lng 27427  df-ee 27889  df-btwn 27890  df-eeng 27976  df-line 46905
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator