Theorem eenglngeehlnm 46085

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry (see elntg 27352) corresponds to the definition of lines passing through two different points in a left module (see rrxlines 46079). (Contributed by AV, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eenglngeehlnm	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Proof of Theorem eenglngeehlnm

Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑡 𝑥 𝑦 𝑛 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengbas 27349	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
2	1	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁))
3		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
4	3	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℝ ↑m (1...𝑛)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
5		df-ee 27259	. . . . 5 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
6		ovex 7308	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6875	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
8	2, 7	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
9	2	ancli 549	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)))
10	9, 8	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))))
11		difeq1 4050	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
12	11	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
13	10, 12	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
14	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
15		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	8	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
17	16	biimpcd 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
19	18	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
21	8	difeq1d 4056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
22	21	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
23	22	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
24	23	adantld 491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
25	24	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
27	14	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
28	27	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
29		eenglngeehlnmlem1 46083	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
30		eenglngeehlnmlem2 46084	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖))) → (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))))
31	29, 30	impbid 211	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
32	15, 20, 26, 28, 31	syl31anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
33	14, 32	rabeqbidva 3421	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))})
34	8, 13, 33	mpoeq123dva 7349	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
35		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (Base‘(EEG‘𝑁))
36		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1...𝑁) = (1...𝑁)
37	35, 36	elntg2 27353	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}))
38		nnnn0 12240	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝔼hil‘𝑁) = (𝔼hil‘𝑁)
40	39	ehlval 24578	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
41	38, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
42	41	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
43		fzfid 13693	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
44		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘(1...𝑁))
45		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))
46		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
47	44, 45, 46	rrxlinesc 46081	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
48	43, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
49	42, 48	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
50	34, 37, 49	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ∖ cdif 3884  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  (,]cioc 13080  [,)cico 13081  [,]cicc 13082  ...cfz 13239  Basecbs 16912  ℝ^crrx 24547  𝔼_hilcehl 24548  LineGclng 26795  𝔼cee 27256  EEGceeng 27345  Line_Mcline 46073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-refld 20810  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-tng 23740  df-tcph 24333  df-rrx 24549  df-ehl 24550  df-itv 26796  df-lng 26797  df-ee 27259  df-btwn 27260  df-eeng 27346  df-line 46075

This theorem is referenced by: (None)