Theorem eenglngeehlnm 49022

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry (see elntg 29038) corresponds to the definition of lines passing through two different points in a left module (see rrxlines 49016). (Contributed by AV, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eenglngeehlnm	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Proof of Theorem eenglngeehlnm

Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑡 𝑥 𝑦 𝑛 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengbas 29035	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
2	1	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁))
3		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
4	3	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℝ ↑m (1...𝑛)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
5		df-ee 28944	. . . . 5 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
6		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6940	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
8	2, 7	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
9	2	ancli 548	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)))
10	9, 8	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))))
11		difeq1 4070	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
12	11	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
13	10, 12	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
14	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
15		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	8	eleq2d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
17	16	biimpcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
19	18	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
21	8	difeq1d 4076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
22	21	eleq2d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
23	22	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
24	23	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
25	24	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
27	14	eleq2d 2821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
28	27	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
29		eenglngeehlnmlem1 49020	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
30		eenglngeehlnmlem2 49021	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖))) → (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))))
31	29, 30	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
32	15, 20, 26, 28, 31	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
33	14, 32	rabeqbidva 3414	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))})
34	8, 13, 33	mpoeq123dva 7432	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
35		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (Base‘(EEG‘𝑁))
36		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1...𝑁) = (1...𝑁)
37	35, 36	elntg2 29039	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}))
38		nnnn0 12410	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝔼hil‘𝑁) = (𝔼hil‘𝑁)
40	39	ehlval 25372	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
41	38, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
42	41	fveq2d 6837	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
43		fzfid 13898	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
44		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘(1...𝑁))
45		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))
46		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
47	44, 45, 46	rrxlinesc 49018	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
48	43, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
49	42, 48	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
50	34, 37, 49	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3398   ∖ cdif 3897  {csn 4579  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8885  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  (,]cioc 13264  [,)cico 13265  [,]cicc 13266  ...cfz 13425  Basecbs 17138  ℝ^crrx 25341  𝔼_hilcehl 25342  LineGclng 28487  𝔼cee 28941  EEGceeng 29031  Line_Mcline 49010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12908  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-field 20667  df-staf 20774  df-srng 20775  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-cnfld 21312  df-refld 21562  df-dsmm 21689  df-frlm 21704  df-tng 24530  df-tcph 25127  df-rrx 25343  df-ehl 25344  df-itv 28488  df-lng 28489  df-ee 28944  df-btwn 28945  df-eeng 29032  df-line 49012

This theorem is referenced by: (None)