Theorem eenglngeehlnm 47514

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry (see elntg 28506) corresponds to the definition of lines passing through two different points in a left module (see rrxlines 47508). (Contributed by AV, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eenglngeehlnm	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Proof of Theorem eenglngeehlnm

Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑡 𝑥 𝑦 𝑛 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengbas 28503	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
2	1	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁))
3		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
4	3	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℝ ↑m (1...𝑛)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
5		df-ee 28413	. . . . 5 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
6		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6999	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
8	2, 7	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
9	2	ancli 548	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)))
10	9, 8	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))))
11		difeq1 4116	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
12	11	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
13	10, 12	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
14	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
15		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	8	eleq2d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
17	16	biimpcd 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
19	18	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
21	8	difeq1d 4122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
22	21	eleq2d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
23	22	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
24	23	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
25	24	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
27	14	eleq2d 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
28	27	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
29		eenglngeehlnmlem1 47512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
30		eenglngeehlnmlem2 47513	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖))) → (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))))
31	29, 30	impbid 211	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
32	15, 20, 26, 28, 31	syl31anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
33	14, 32	rabeqbidva 3447	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))})
34	8, 13, 33	mpoeq123dva 7486	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
35		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (Base‘(EEG‘𝑁))
36		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1...𝑁) = (1...𝑁)
37	35, 36	elntg2 28507	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}))
38		nnnn0 12484	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝔼hil‘𝑁) = (𝔼hil‘𝑁)
40	39	ehlval 25163	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
41	38, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
42	41	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
43		fzfid 13943	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
44		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘(1...𝑁))
45		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))
46		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
47	44, 45, 46	rrxlinesc 47510	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
48	43, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
49	42, 48	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
50	34, 37, 49	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431   ∖ cdif 3946  {csn 4629  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   · cmul 11118   − cmin 11449  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  (,]cioc 13330  [,)cico 13331  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  Basecbs 17149  ℝ^crrx 25132  𝔼_hilcehl 25133  LineGclng 27949  𝔼cee 28410  EEGceeng 28499  Line_Mcline 47502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-field 20504  df-staf 20597  df-srng 20598  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-cnfld 21146  df-refld 21378  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-tng 24314  df-tcph 24918  df-rrx 25134  df-ehl 25135  df-itv 27950  df-lng 27951  df-ee 28413  df-btwn 28414  df-eeng 28500  df-line 47504

This theorem is referenced by: (None)