Theorem eenglngeehlnm 49128

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry (see elntg 29075) corresponds to the definition of lines passing through two different points in a left module (see rrxlines 49122). (Contributed by AV, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eenglngeehlnm	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Proof of Theorem eenglngeehlnm

Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑡 𝑥 𝑦 𝑛 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengbas 29072	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
2	1	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁))
3		oveq2 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
4	3	oveq2d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (ℝ ↑m (1...𝑛)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
5		df-ee 28981	. . . . 5 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
6		ovex 7403	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6951	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
8	2, 7	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
9	2	ancli 548	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)))
10	9, 8	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))))
11		difeq1 4073	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
12	11	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (𝔼‘𝑁)) ∧ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
13	10, 12	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
14	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (Base‘(EEG‘𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
15		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	8	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
17	16	biimpcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
19	18	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
21	8	difeq1d 4079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
22	21	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
23	22	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
24	23	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})))
25	24	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}))
27	14	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → (𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ↔ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
28	27	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
29		eenglngeehlnmlem1 49126	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
30		eenglngeehlnmlem2 49127	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖))) → (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))))
31	29, 30	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
32	15, 20, 26, 28, 31	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) → ((∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
33	14, 32	rabeqbidva 3417	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}))) → {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))})
34	8, 13, 33	mpoeq123dva 7444	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
35		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(EEG‘𝑁)) = (Base‘(EEG‘𝑁))
36		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1...𝑁) = (1...𝑁)
37	35, 36	elntg2 29076	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)), 𝑦 ∈ ((Base‘(EEG‘𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)) ∣ (∃𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑧) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑧 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑣 ∈ (0[,)1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑣) · (𝑝‘𝑖)) + (𝑣 · (𝑦‘𝑖))) ∨ ∃𝑤 ∈ (0(,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑖) = (((1 − 𝑤) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑤 · (𝑝‘𝑖))))}))
38		nnnn0 12422	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝔼hil‘𝑁) = (𝔼hil‘𝑁)
40	39	ehlval 25387	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
41	38, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼hil‘𝑁) = (ℝ^‘(1...𝑁)))
42	41	fveq2d 6848	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
43		fzfid 13910	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
44		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘(1...𝑁))
45		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))
46		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
47	44, 45, 46	rrxlinesc 49124	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
48	43, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
49	42, 48	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
50	34, 37, 49	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (LineM‘(𝔼hil‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∈ cmpo 7372   ↑_m cmap 8777  Fincfn 8897  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   − cmin 11378  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  (,]cioc 13276  [,)cico 13277  [,]cicc 13278  ...cfz 13437  Basecbs 17150  ℝ^crrx 25356  𝔼_hilcehl 25357  LineGclng 28523  𝔼cee 28978  EEGceeng 29068  Line_Mcline 49116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-rp 12920  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-sum 15624  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-prds 17381  df-pws 17383  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-drng 20681  df-field 20682  df-staf 20789  df-srng 20790  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-cnfld 21327  df-refld 21577  df-dsmm 21704  df-frlm 21719  df-tng 24545  df-tcph 25142  df-rrx 25358  df-ehl 25359  df-itv 28524  df-lng 28525  df-ee 28981  df-btwn 28982  df-eeng 29069  df-line 49118

This theorem is referenced by: (None)