Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eenglngeehlnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eenglngeehlnm 47512
Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry (see elntg 28509) corresponds to the definition of lines passing through two different points in a left module (see rrxlines 47506). (Contributed by AV, 16-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
eenglngeehlnm (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)))

Proof of Theorem eenglngeehlnm
Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑛 𝑣 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eengbas 28506 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π”Όβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)))
21eqcomd 2736 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘))
3 oveq2 7419 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (1...𝑛) = (1...𝑁))
43oveq2d 7427 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (ℝ ↑m (1...𝑛)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
5 df-ee 28416 . . . . 5 𝔼 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
6 ovex 7444 . . . . 5 (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6997 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π”Όβ€˜π‘) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
82, 7eqtrd 2770 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
92ancli 547 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘)))
109, 8jca 510 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))))
11 difeq1 4114 . . . . 5 ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
1211ad2antlr 723 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π”Όβ€˜π‘)) ∧ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
1310, 12sylan 578 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
148adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (ℝ ↑m (1...𝑁)))
15 simpll 763 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
168eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ↔ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
1716biimpcd 248 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
1918impcom 406 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
2019adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
218difeq1d 4120 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) = ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
2221eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) ↔ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})))
2322biimpd 228 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})))
2423adantld 489 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})))
2524imp 405 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
2625adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}))
2714eleq2d 2817 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ↔ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))))
2827biimpa 475 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
29 eenglngeehlnmlem1 47510 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
30 eenglngeehlnmlem2 47511 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))))
3129, 30impbid 211 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3215, 20, 26, 28, 31syl31anc 1371 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))) β†’ ((βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–)))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3314, 32rabeqbidva 3446 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∧ 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}))) β†’ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∣ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))})
348, 13, 33mpoeq123dva 7485 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)), 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∣ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))}) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
35 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))
36 eqid 2730 . . 3 (1...𝑁) = (1...𝑁)
3735, 36elntg2 28510 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)), 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)) ∣ (βˆƒπ‘§ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑧) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑧 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘£ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑣) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑣 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘€ ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑀) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑀 Β· (π‘β€˜π‘–))))}))
38 nnnn0 12483 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
39 eqid 2730 . . . . . 6 (𝔼hilβ€˜π‘) = (𝔼hilβ€˜π‘)
4039ehlval 25162 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜π‘) = (ℝ^β€˜(1...𝑁)))
4138, 40syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝔼hilβ€˜π‘) = (ℝ^β€˜(1...𝑁)))
4241fveq2d 6894 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)) = (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))))
43 fzfid 13942 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
44 eqid 2730 . . . . 5 (ℝ^β€˜(1...𝑁)) = (ℝ^β€˜(1...𝑁))
45 eqid 2730 . . . . 5 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (ℝ ↑m (1...𝑁))
46 eqid 2730 . . . . 5 (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁)))
4744, 45, 46rrxlinesc 47508 . . . 4 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
4843, 47syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineMβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
4942, 48eqtrd 2770 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)), 𝑦 ∈ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (𝑑 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))}))
5034, 37, 493eqtr4d 2780 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (LineMβ€˜(𝔼hilβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  (,]cioc 13329  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  Basecbs 17148  β„^crrx 25131  π”Όhilcehl 25132  LineGclng 27952  π”Όcee 28413  EEGceeng 28502  LineMcline 47500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-tng 24313  df-tcph 24917  df-rrx 25133  df-ehl 25134  df-itv 27953  df-lng 27954  df-ee 28416  df-btwn 28417  df-eeng 28503  df-line 47502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator