Theorem elaa 26292

Description: Elementhood in the set of algebraic numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elaa	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elaa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-aa 26291	. . 3 ⊢ 𝔸 = ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0})
2	1	eleq2i 2829	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ 𝐴 ∈ ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0}))
3		eliun 4952	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}))
4		eldifi 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℤ))
5		plyf 26171	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝑓:ℂ⟶ℂ)
6		ffn 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℂ⟶ℂ → 𝑓 Fn ℂ)
7		fniniseg 7014	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0)))
8	4, 5, 6, 7	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → (𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0)))
9	8	rexbiia 3083	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0))
10		r19.42v 3170	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
11	9, 10	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
12	3, 11	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
13	2, 12	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ∪ ciun 4948  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  ℂcc 11036  0cc0 11038  ℤcz 12500  0_𝑝c0p 25638  Polycply 26157  𝔸caa 26290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-ply 26161  df-aa 26291

This theorem is referenced by:  aacn  26293  elqaalem3  26297  elqaa  26298  iaa  26301  aareccl  26302  aacjcl  26303  aannenlem2  26305  aaliou2  26316  elaa2  46586  nthrucw  47238