Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elaa 24891
 Description: Elementhood in the set of algebraic numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
elaa (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elaa
StepHypRef Expression
1 df-aa 24890 . . 3 𝔸 = 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓 “ {0})
21eleq2i 2902 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ 𝐴 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓 “ {0}))
3 eliun 4899 . . 3 (𝐴 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}))
4 eldifi 4082 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℤ))
5 plyf 24774 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝑓:ℂ⟶ℂ)
6 ffn 6490 . . . . . 6 (𝑓:ℂ⟶ℂ → 𝑓 Fn ℂ)
7 fniniseg 6806 . . . . . 6 (𝑓 Fn ℂ → (𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝐴) = 0)))
84, 5, 6, 74syl 19 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → (𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝐴) = 0)))
98rexbiia 3233 . . . 4 (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝐴) = 0))
10 r19.42v 3337 . . . 4 (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝐴) = 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
119, 10bitri 277 . . 3 (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
123, 11bitri 277 . 2 (𝐴 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
132, 12bitri 277 1 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3126   ∖ cdif 3910  {csn 4543  ∪ ciun 4895  ◡ccnv 5530   “ cima 5534   Fn wfn 6326  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  ℂcc 10513  0cc0 10515  ℤcz 11960  0𝑝c0p 24252  Polycply 24760  𝔸caa 24889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-ply 24764  df-aa 24890 This theorem is referenced by:  aacn  24892  elqaalem3  24896  elqaa  24897  iaa  24900  aareccl  24901  aacjcl  24902  aannenlem2  24904  aaliou2  24915  elaa2  42667
 Copyright terms: Public domain W3C validator