Theorem elaa 26274

Description: Elementhood in the set of algebraic numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elaa	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elaa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-aa 26273	. . 3 ⊢ 𝔸 = ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0})
2	1	eleq2i 2826	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ 𝐴 ∈ ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0}))
3		eliun 4971	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}))
4		eldifi 4106	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℤ))
5		plyf 26153	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝑓:ℂ⟶ℂ)
6		ffn 6705	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℂ⟶ℂ → 𝑓 Fn ℂ)
7		fniniseg 7049	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0)))
8	4, 5, 6, 7	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → (𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0)))
9	8	rexbiia 3081	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0))
10		r19.42v 3176	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
11	9, 10	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
12	3, 11	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
13	2, 12	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923  {csn 4601  ∪ ciun 4967  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  ℂcc 11125  0cc0 11127  ℤcz 12586  0_𝑝c0p 25620  Polycply 26139  𝔸caa 26272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-sum 15701  df-ply 26143  df-aa 26273

This theorem is referenced by:  aacn  26275  elqaalem3  26279  elqaa  26280  iaa  26283  aareccl  26284  aacjcl  26285  aannenlem2  26287  aaliou2  26298  elaa2  46211