Theorem elaa 26358

Description: Elementhood in the set of algebraic numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elaa	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elaa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-aa 26357	. . 3 ⊢ 𝔸 = ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0})
2	1	eleq2i 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ 𝐴 ∈ ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0}))
3		eliun 4995	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}))
4		eldifi 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℤ))
5		plyf 26237	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝑓:ℂ⟶ℂ)
6		ffn 6736	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℂ⟶ℂ → 𝑓 Fn ℂ)
7		fniniseg 7080	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0)))
8	4, 5, 6, 7	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → (𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0)))
9	8	rexbiia 3092	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0))
10		r19.42v 3191	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝐴) = 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
11	9, 10	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
12	3, 11	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(◡𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
13	2, 12	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948  {csn 4626  ∪ ciun 4991  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  0cc0 11155  ℤcz 12613  0_𝑝c0p 25704  Polycply 26223  𝔸caa 26356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-ply 26227  df-aa 26357

This theorem is referenced by:  aacn  26359  elqaalem3  26363  elqaa  26364  iaa  26367  aareccl  26368  aacjcl  26369  aannenlem2  26371  aaliou2  26382  elaa2  46249