MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou2 25571
Description: Liouville's approximation theorem for algebraic numbers per se. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou2 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑝,𝑞

Proof of Theorem aaliou2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3912 . 2 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2 elaa 25547 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0))
3 eldifn 4072 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
433ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
5 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
6 fveq1 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}) → (𝑎𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
76adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
8 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎𝐴) = 0)
9 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 fvex 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎‘0) ∈ V
1211fvconst2 7116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
147, 8, 133eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘0) = 0)
1514sneqd 4581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → {(𝑎‘0)} = {0})
1615xpeq2d 5635 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (ℂ × {(𝑎‘0)}) = (ℂ × {0}))
175, 16eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {0}))
18 df-0p 24905 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (ℂ × {0})
1917, 18eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = 0𝑝)
20 velsn 4585 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {0𝑝} ↔ 𝑎 = 0𝑝)
2119, 20sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 ∈ {0𝑝})
224, 21mtand 813 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
23 eldifi 4071 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
24233ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
25 0dgrb 25478 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
2722, 26mtbird 324 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (deg‘𝑎) = 0)
28 dgrcl 25465 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
2924, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
30 elnn0 12305 . . . . . . . . 9 ((deg‘𝑎) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
32 orel2 888 . . . . . . . 8 (¬ (deg‘𝑎) = 0 → (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ))
3327, 31, 32sylc 65 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ)
34 eqid 2737 . . . . . . . 8 (deg‘𝑎) = (deg‘𝑎)
35 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
36 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑎𝐴) = 0)
3734, 24, 33, 35, 36aaliou 25569 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
38 oveq2 7321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑞𝑘) = (𝑞↑(deg‘𝑎)))
3938oveq2d 7329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑥 / (𝑞𝑘)) = (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))))
4039breq1d 5095 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4140orbi2d 913 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
42412ralbidv 3209 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4342rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4443rspcev 3570 . . . . . . 7 (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4533, 37, 44syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
46453exp 1118 . . . . 5 (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ((𝑎𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
4746rexlimiv 3142 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
482, 47simplbiim 505 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4948imp 407 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
501, 49sylbi 216 1 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3062  wrex 3071  cdif 3893  cin 3895  {csn 4569   class class class wbr 5085   × cxp 5603  cfv 6463  (class class class)co 7313  cc 10939  cr 10940  0cc0 10941   < clt 11079  cmin 11275   / cdiv 11702  cn 12043  0cn0 12303  cz 12389  +crp 12800  cexp 13852  abscabs 15014  0𝑝c0p 24904  Polycply 25416  degcdgr 25419  𝔸caa 25545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-inf2 9467  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019  ax-addf 11020  ax-mulf 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-supp 8023  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-2o 8343  df-oadd 8346  df-er 8544  df-map 8663  df-pm 8664  df-ixp 8732  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fsupp 9197  df-fi 9238  df-sup 9269  df-inf 9270  df-oi 9337  df-dju 9727  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-xnn0 12376  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-ioo 13153  df-ico 13155  df-icc 13156  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-fl 13582  df-seq 13792  df-exp 13853  df-hash 14115  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-clim 15266  df-rlim 15267  df-sum 15467  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-ip 17047  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-hom 17053  df-cco 17054  df-rest 17200  df-topn 17201  df-0g 17219  df-gsum 17220  df-topgen 17221  df-pt 17222  df-prds 17225  df-xrs 17280  df-qtop 17285  df-imas 17286  df-xps 17288  df-mre 17362  df-mrc 17363  df-acs 17365  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-submnd 18498  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-mulg 18768  df-subg 18819  df-cntz 18990  df-cmn 19455  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-cring 19853  df-subrg 20093  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-fbas 20665  df-fg 20666  df-cnfld 20669  df-top 22114  df-topon 22131  df-topsp 22153  df-bases 22167  df-cld 22241  df-ntr 22242  df-cls 22243  df-nei 22320  df-lp 22358  df-perf 22359  df-cn 22449  df-cnp 22450  df-haus 22537  df-cmp 22609  df-tx 22784  df-hmeo 22977  df-fil 23068  df-fm 23160  df-flim 23161  df-flf 23162  df-xms 23544  df-ms 23545  df-tms 23546  df-cncf 24112  df-0p 24905  df-limc 25101  df-dv 25102  df-dvn 25103  df-cpn 25104  df-ply 25420  df-idp 25421  df-coe 25422  df-dgr 25423  df-quot 25522  df-aa 25546
This theorem is referenced by:  aaliou2b  25572
  Copyright terms: Public domain W3C validator