Theorem aaliou2 26724

Description: Liouville's approximation theorem for algebraic numbers per se. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aaliou2	⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑝,𝑞

Proof of Theorem aaliou2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4096	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2		elaa 26696	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0))
3		eldifn 4071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
5		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
6		fveq1 6915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}) → (𝑎‘𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
8		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘𝐴) = 0)
9		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		fvex 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎‘0) ∈ V
12	11	fvconst2 7241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
14	7, 8, 13	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘0) = 0)
15	14	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → {(𝑎‘0)} = {0})
16	15	xpeq2d 5688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (ℂ × {(𝑎‘0)}) = (ℂ × {0}))
17	5, 16	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {0}))
18		df-0p 26046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
19	17, 18	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = 0𝑝)
20		velsn 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {0𝑝} ↔ 𝑎 = 0𝑝)
21	19, 20	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 ∈ {0𝑝})
22	4, 21	mtand 828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
23		eldifi 4070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
25		0dgrb 26620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
27	22, 26	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (deg‘𝑎) = 0)
28		dgrcl 26607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
29	24, 28	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
30		elnn0 12648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘𝑎) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
31	29, 30	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
32		orel2 904	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (deg‘𝑎) = 0 → (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ))
33	27, 31, 32	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ)
34		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘𝑎) = (deg‘𝑎)
35		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
36		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑎‘𝐴) = 0)
37	34, 24, 33, 35, 36	aaliou 26722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
38		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑞↑𝑘) = (𝑞↑(deg‘𝑎)))
39	38	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) = (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))))
40	39	breq1d 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
41	40	orbi2d 929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
42	41	2ralbidv 3230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
43	42	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
44	43	rspcev 3580	. . . . . . 7 ⊢ (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
45	33, 37, 44	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
46	45	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ((𝑎‘𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
47	46	rexlimiv 3160	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
48	2, 47	simplbiim 514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
49	48	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
50	1, 49	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℝ⁺crp 13160  ↑cexp 14244  abscabs 15444  0_𝑝c0p 26045  Polycply 26557  degcdgr 26560  𝔸caa 26694

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-0p 26046  df-limc 26241  df-dv 26242  df-dvn 26243  df-cpn 26244  df-ply 26561  df-idp 26562  df-coe 26563  df-dgr 26564  df-quot 26667  df-aa 26695

This theorem is used by:  aaliou2b  26725