Theorem aaliou2 26554

Description: Liouville's approximation theorem for algebraic numbers per se. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aaliou2	⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑝,𝑞

Proof of Theorem aaliou2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3922	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2		elaa 26528	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0))
3		eldifn 4086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
5		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
6		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}) → (𝑎‘𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
8		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘𝐴) = 0)
9		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎‘0) ∈ V
12	11	fvconst2 7209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
14	7, 8, 13	3eqtr3rd 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘0) = 0)
15	14	sneqd 4603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → {(𝑎‘0)} = {0})
16	15	xpeq2d 5693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (ℂ × {(𝑎‘0)}) = (ℂ × {0}))
17	5, 16	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {0}))
18		df-0p 25880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
19	17, 18	eqtr4di 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = 0𝑝)
20		velsn 4607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {0𝑝} ↔ 𝑎 = 0𝑝)
21	19, 20	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 ∈ {0𝑝})
22	4, 21	mtand 828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
23		eldifi 4085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
25		0dgrb 26454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
27	22, 26	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (deg‘𝑎) = 0)
28		dgrcl 26441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
29	24, 28	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
30		elnn0 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘𝑎) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
31	29, 30	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
32		orel2 904	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (deg‘𝑎) = 0 → (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ))
33	27, 31, 32	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ)
34		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘𝑎) = (deg‘𝑎)
35		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
36		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑎‘𝐴) = 0)
37	34, 24, 33, 35, 36	aaliou 26552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
38		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑞↑𝑘) = (𝑞↑(deg‘𝑎)))
39	38	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) = (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))))
40	39	breq1d 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
41	40	orbi2d 929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
42	41	2ralbidv 3231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
43	42	rexbidv 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
44	43	rspcev 3583	. . . . . . 7 ⊢ (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
45	33, 37, 44	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
46	45	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ((𝑎‘𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
47	46	rexlimiv 3161	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
48	2, 47	simplbiim 514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
49	48	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
50	1, 49	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115   < clt 11258   − cmin 11456   / cdiv 11886  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14115  abscabs 15309  0_𝑝c0p 25879  Polycply 26392  degcdgr 26395  𝔸caa 26526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-cmp 23594  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-0p 25880  df-limc 26076  df-dv 26077  df-dvn 26078  df-cpn 26079  df-ply 26396  df-idp 26397  df-coe 26398  df-dgr 26399  df-quot 26503  df-aa 26527

This theorem is used by:  aaliou2b  26555