Theorem aaliou2 26577

Description: Liouville's approximation theorem for algebraic numbers per se. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aaliou2	⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑝,𝑞

Proof of Theorem aaliou2

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3915	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2		elaa 26549	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0))
3		eldifn 4079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
5		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
6		fveq1 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}) → (𝑎‘𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
8		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘𝐴) = 0)
9		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		fvex 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎‘0) ∈ V
12	11	fvconst2 7204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
14	7, 8, 13	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘0) = 0)
15	14	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → {(𝑎‘0)} = {0})
16	15	xpeq2d 5685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (ℂ × {(𝑎‘0)}) = (ℂ × {0}))
17	5, 16	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {0}))
18		df-0p 25899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
19	17, 18	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = 0𝑝)
20		velsn 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {0𝑝} ↔ 𝑎 = 0𝑝)
21	19, 20	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 ∈ {0𝑝})
22	4, 21	mtand 828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
23		eldifi 4078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
25		0dgrb 26473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
27	22, 26	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (deg‘𝑎) = 0)
28		dgrcl 26460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
29	24, 28	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
30		elnn0 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((deg‘𝑎) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
31	29, 30	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
32		orel2 904	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (deg‘𝑎) = 0 → (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ))
33	27, 31, 32	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ)
34		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘𝑎) = (deg‘𝑎)
35		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
36		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑎‘𝐴) = 0)
37	34, 24, 33, 35, 36	aaliou 26575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
38		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑞↑𝑘) = (𝑞↑(deg‘𝑎)))
39	38	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) = (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))))
40	39	breq1d 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
41	40	orbi2d 929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
42	41	2ralbidv 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
43	42	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
44	43	rspcev 3576	. . . . . . 7 ⊢ (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
45	33, 37, 44	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎‘𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
46	45	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ((𝑎‘𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
47	46	rexlimiv 3156	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
48	2, 47	simplbiim 514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
49	48	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
50	1, 49	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125   < clt 11268   − cmin 11466   / cdiv 11896  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℝ⁺crp 13043  ↑cexp 14126  abscabs 15322  0_𝑝c0p 25898  Polycply 26410  degcdgr 26413  𝔸caa 26547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-cmp 23613  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-0p 25899  df-limc 26094  df-dv 26095  df-dvn 26096  df-cpn 26097  df-ply 26414  df-idp 26415  df-coe 26416  df-dgr 26417  df-quot 26522  df-aa 26548

This theorem is used by:  aaliou2b  26578