MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou2 25700
Description: Liouville's approximation theorem for algebraic numbers per se. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou2 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑝,𝑞

Proof of Theorem aaliou2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3926 . 2 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2 elaa 25676 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0))
3 eldifn 4087 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
433ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
5 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
6 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}) → (𝑎𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
76adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
8 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎𝐴) = 0)
9 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎‘0) ∈ V
1211fvconst2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
147, 8, 133eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘0) = 0)
1514sneqd 4598 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → {(𝑎‘0)} = {0})
1615xpeq2d 5663 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (ℂ × {(𝑎‘0)}) = (ℂ × {0}))
175, 16eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {0}))
18 df-0p 25034 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (ℂ × {0})
1917, 18eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = 0𝑝)
20 velsn 4602 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {0𝑝} ↔ 𝑎 = 0𝑝)
2119, 20sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 ∈ {0𝑝})
224, 21mtand 814 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
23 eldifi 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
24233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
25 0dgrb 25607 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
2722, 26mtbird 324 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (deg‘𝑎) = 0)
28 dgrcl 25594 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
2924, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
30 elnn0 12415 . . . . . . . . 9 ((deg‘𝑎) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
32 orel2 889 . . . . . . . 8 (¬ (deg‘𝑎) = 0 → (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ))
3327, 31, 32sylc 65 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ)
34 eqid 2736 . . . . . . . 8 (deg‘𝑎) = (deg‘𝑎)
35 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
36 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑎𝐴) = 0)
3734, 24, 33, 35, 36aaliou 25698 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
38 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑞𝑘) = (𝑞↑(deg‘𝑎)))
3938oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑥 / (𝑞𝑘)) = (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))))
4039breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4140orbi2d 914 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
42412ralbidv 3212 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4342rexbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4443rspcev 3581 . . . . . . 7 (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4533, 37, 44syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
46453exp 1119 . . . . 5 (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ((𝑎𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
4746rexlimiv 3145 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
482, 47simplbiim 505 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4948imp 407 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
501, 49sylbi 216 1 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  cin 3909  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   < clt 11189  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  cexp 13967  abscabs 15119  0𝑝c0p 25033  Polycply 25545  degcdgr 25548  𝔸caa 25674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232  df-cpn 25233  df-ply 25549  df-idp 25550  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-quot 25651  df-aa 25675
This theorem is referenced by:  aaliou2b  25701
  Copyright terms: Public domain W3C validator