MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou2 24386
Description: Liouville's approximation theorem for algebraic numbers per se. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou2 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑝,𝑞

Proof of Theorem aaliou2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3958 . 2 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2 elaa 24362 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0))
3 eldifn 3895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
433ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 ∈ {0𝑝})
5 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
6 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}) → (𝑎𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
76adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎𝐴) = ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴))
8 simpl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎𝐴) = 0)
9 simpl3 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎‘0) ∈ V
1211fvconst2 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → ((ℂ × {(𝑎‘0)})‘𝐴) = (𝑎‘0))
147, 8, 133eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (𝑎‘0) = 0)
1514sneqd 4346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → {(𝑎‘0)} = {0})
1615xpeq2d 5307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → (ℂ × {(𝑎‘0)}) = (ℂ × {0}))
175, 16eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = (ℂ × {0}))
18 df-0p 23728 . . . . . . . . . . . . 13 0𝑝 = (ℂ × {0})
1917, 18syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 = 0𝑝)
20 velsn 4350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {0𝑝} ↔ 𝑎 = 0𝑝)
2119, 20sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})) → 𝑎 ∈ {0𝑝})
224, 21mtand 850 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)}))
23 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
24233ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ (Poly‘ℤ))
25 0dgrb 24293 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = (ℂ × {(𝑎‘0)})))
2722, 26mtbird 316 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (deg‘𝑎) = 0)
28 dgrcl 24280 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
2924, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ0)
30 elnn0 11540 . . . . . . . . . 10 ((deg‘𝑎) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
3129, 30sylib 209 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0))
32 orel2 914 . . . . . . . . 9 (¬ (deg‘𝑎) = 0 → (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑎) = 0) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ))
3327, 31, 32sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (deg‘𝑎) ∈ ℕ)
34 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (deg‘𝑎) = (deg‘𝑎)
35 simp3 1168 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
36 simp2 1167 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑎𝐴) = 0)
3734, 24, 33, 35, 36aaliou 24384 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
38 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑞𝑘) = (𝑞↑(deg‘𝑎)))
3938oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (𝑥 / (𝑞𝑘)) = (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))))
4039breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4140orbi2d 939 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (deg‘𝑎) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
42412ralbidv 3136 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4342rexbidv 3199 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (deg‘𝑎) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4443rspcev 3461 . . . . . . . 8 (((deg‘𝑎) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑(deg‘𝑎))) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4533, 37, 44syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑎𝐴) = 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
46453exp 1148 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → ((𝑎𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
4746rexlimiv 3174 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4847adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
492, 48sylbi 208 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
5049imp 395 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
511, 50sylbi 208 1 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cdif 3729  cin 3731  {csn 4334   class class class wbr 4809   × cxp 5275  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   < clt 10328  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  +crp 12028  cexp 13067  abscabs 14261  0𝑝c0p 23727  Polycply 24231  degcdgr 24234  𝔸caa 24360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-subrg 19047  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-0p 23728  df-limc 23921  df-dv 23922  df-dvn 23923  df-cpn 23924  df-ply 24235  df-idp 24236  df-coe 24237  df-dgr 24238  df-quot 24337  df-aa 24361
This theorem is referenced by:  aaliou2b  24387
  Copyright terms: Public domain W3C validator