Theorem ellcsrspsn 36375

Description: Membership in a left coset in a quotient of a ring by the span of a singleton (that is, by the ideal generated by an element). This characterization comes from eqglact 19371 and elrspsn 21505. (Contributed by SN, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellcsrspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ellcsrspsn.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ellcsrspsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ellcsrspsn.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ellcsrspsn.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
ellcsrspsn.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
ellcsrspsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ellcsrspsn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
ellcsrspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
ellcsrspsn	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, ∼   𝑦, + ,𝑧   𝑦, ·

Allowed substitution hints:   + (𝑥)   ∼ (𝑦, 𝑧)   𝑅(𝑥, 𝑧)   · (𝑥, 𝑧)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥, 𝑧)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ellcsrspsn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellcsrspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
2		ellcsrspsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ellcsrspsn.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
4		ellcsrspsn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
5		ellcsrspsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	quselbas 19379	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
7	2, 1, 6	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
8	1, 7	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ )
9	2	ringgrpd 20449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
11		ellcsrspsn.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
12		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13		ellcsrspsn.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐵)
15	12, 5, 2, 14	rspssbasd 36374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ⊆ 𝐵)
16	11, 15	eqsstrid 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		ellcsrspsn.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 3, 19	eqglact 19371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
21	10, 17, 18, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
22		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖))
23		vex 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ V)
25	22, 24, 17	elimampt 6037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖)))
26		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑥 + 𝑖) = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀)))
27	26	eqeq2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
28	11	eleq2i 2853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}))
29		ellcsrspsn.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30	5, 29, 12	elrspsn 21505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
31	2, 13, 30	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
32	28, 31	bitrid 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
34		ovexd 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑀) ∈ V)
35	27, 33, 34	rexxfr3d 36372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
36	25, 35	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
37	36	eqabdv 2894	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
38	21, 37	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
39		eqeq1 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))} ↔ [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
40	38, 39	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
41	40	ancld 560	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
42	41	reximdva 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
43	8, 42	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   “ cima 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  [cec 8699  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409   /_s cqus 17657  Grpcgrp 19124   ~_QG cqg 19312  Ringcrg 20439  RSpancrsp 21465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-ec 8703  df-qs 8707  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-0g 17592  df-imas 17660  df-qus 17661  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-eqg 19315  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467

This theorem is used by:  r1peuqusdeg1  36377