Theorem ellcsrspsn 35653

Description: Membership in a left coset in a quotient of a ring by the span of a singleton (that is, by the ideal generated by an element). This characterization comes from eqglact 19084 and elrspsn 21170. (Contributed by SN, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellcsrspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ellcsrspsn.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ellcsrspsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ellcsrspsn.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ellcsrspsn.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
ellcsrspsn.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
ellcsrspsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ellcsrspsn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
ellcsrspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
ellcsrspsn	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, ∼   𝑦, + ,𝑧   𝑦, ·

Allowed substitution hints:   + (𝑥)   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑧)   · (𝑥,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ellcsrspsn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellcsrspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
2		ellcsrspsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ellcsrspsn.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
4		ellcsrspsn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
5		ellcsrspsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	quselbas 19089	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
7	2, 1, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
8	1, 7	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ )
9	2	ringgrpd 20153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
11		ellcsrspsn.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
12		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13		ellcsrspsn.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐵)
15	12, 5, 2, 14	rspssbasd 35652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ⊆ 𝐵)
16	11, 15	eqsstrid 3971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		ellcsrspsn.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 3, 19	eqglact 19084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
21	10, 17, 18, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
22		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖))
23		vex 3438	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ V)
25	22, 24, 17	elimampt 5989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖)))
26		oveq2 7349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑥 + 𝑖) = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀)))
27	26	eqeq2d 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
28	11	eleq2i 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}))
29		ellcsrspsn.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30	5, 29, 12	elrspsn 21170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
31	2, 13, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
32	28, 31	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
34		ovexd 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑀) ∈ V)
35	27, 33, 34	rexxfr3d 35650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
36	25, 35	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
37	36	eqabdv 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
38	21, 37	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
39		eqeq1 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))} ↔ [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
40	38, 39	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
41	40	ancld 550	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
42	41	reximdva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
43	8, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {cab 2708  ∃wrex 3054  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  {csn 4574   ↦ cmpt 5170   “ cima 5617  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  [cec 8615  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154   /_s cqus 17401  Grpcgrp 18838   ~_QG cqg 19027  Ringcrg 20144  RSpancrsp 21137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-0g 17337  df-imas 17404  df-qus 17405  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-eqg 19030  df-mgp 20052  df-ur 20093  df-ring 20146  df-subrg 20478  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138  df-rsp 21139

This theorem is referenced by:  r1peuqusdeg1  35655