Theorem ellcsrspsn 36586

Description: Membership in a left coset in a quotient of a ring by the span of a singleton (that is, by the ideal generated by an element). This characterization comes from eqglact 19423 and elrspsn 21558. (Contributed by SN, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellcsrspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ellcsrspsn.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ellcsrspsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ellcsrspsn.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ellcsrspsn.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
ellcsrspsn.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
ellcsrspsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ellcsrspsn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
ellcsrspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
ellcsrspsn	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, ∼   𝑦, + ,𝑧   𝑦, ·

Allowed substitution hints:   + (𝑥)   ∼ (𝑦, 𝑧)   𝑅(𝑥, 𝑧)   · (𝑥, 𝑧)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥, 𝑧)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ellcsrspsn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellcsrspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
2		ellcsrspsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ellcsrspsn.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
4		ellcsrspsn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
5		ellcsrspsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	quselbas 19431	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
7	2, 1, 6	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
8	1, 7	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ )
9	2	ringgrpd 20502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
11		ellcsrspsn.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
12		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13		ellcsrspsn.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐵)
15	12, 5, 2, 14	rspssbasd 36585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ⊆ 𝐵)
16	11, 15	eqsstrid 3951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		ellcsrspsn.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 3, 19	eqglact 19423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
21	10, 17, 18, 20	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
22		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖))
23		vex 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ V)
25	22, 24, 17	elimampt 6048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖)))
26		oveq2 7454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑥 + 𝑖) = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀)))
27	26	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
28	11	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}))
29		ellcsrspsn.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30	5, 29, 12	elrspsn 21558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
31	2, 13, 30	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
32	28, 31	bitrid 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
34		ovexd 7481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑀) ∈ V)
35	27, 33, 34	rexxfr3d 36583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
36	25, 35	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
37	36	eqabdv 2897	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
38	21, 37	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
39		eqeq1 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))} ↔ [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
40	38, 39	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
41	40	ancld 560	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
42	41	reximdva 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
43	8, 42	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   ↦ cmpt 5190   “ cima 5659  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  [cec 8746  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461   /_s cqus 17709  Grpcgrp 19176   ~_QG cqg 19364  Ringcrg 20492  RSpancrsp 21518

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-ec 8750  df-qs 8754  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-0g 17644  df-imas 17712  df-qus 17713  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-eqg 19367  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-lidl 21519  df-rsp 21520

This theorem is used by:  r1peuqusdeg1  36588