Theorem ellcsrspsn 35613

Description: Membership in a left coset in a quotient of a ring by the span of a singleton (that is, by the ideal generated by an element). This characterization comes from eqglact 19076 and elrspsn 21165. (Contributed by SN, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellcsrspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ellcsrspsn.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ellcsrspsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ellcsrspsn.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ellcsrspsn.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
ellcsrspsn.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
ellcsrspsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ellcsrspsn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
ellcsrspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
ellcsrspsn	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, ∼   𝑦, + ,𝑧   𝑦, ·

Allowed substitution hints:   + (𝑥)   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑧)   · (𝑥,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ellcsrspsn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellcsrspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
2		ellcsrspsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ellcsrspsn.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
4		ellcsrspsn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
5		ellcsrspsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	quselbas 19081	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
7	2, 1, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
8	1, 7	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ )
9	2	ringgrpd 20145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
11		ellcsrspsn.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
12		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13		ellcsrspsn.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐵)
15	12, 5, 2, 14	rspssbasd 35612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ⊆ 𝐵)
16	11, 15	eqsstrid 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		ellcsrspsn.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 3, 19	eqglact 19076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
21	10, 17, 18, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
22		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖))
23		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ V)
25	22, 24, 17	elimampt 5998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖)))
26		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑥 + 𝑖) = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀)))
27	26	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
28	11	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}))
29		ellcsrspsn.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30	5, 29, 12	elrspsn 21165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
31	2, 13, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
32	28, 31	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
34		ovexd 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑀) ∈ V)
35	27, 33, 34	rexxfr3d 35610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
36	25, 35	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
37	36	eqabdv 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
38	21, 37	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
39		eqeq1 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))} ↔ [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
40	38, 39	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
41	40	ancld 550	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
42	41	reximdva 3142	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
43	8, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   ↦ cmpt 5176   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  [cec 8630  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180   /_s cqus 17427  Grpcgrp 18830   ~_QG cqg 19019  Ringcrg 20136  RSpancrsp 21132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-0g 17363  df-imas 17430  df-qus 17431  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-eqg 19022  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-rsp 21134

This theorem is referenced by:  r1peuqusdeg1  35615