Theorem ellcsrspsn 35683

Description: Membership in a left coset in a quotient of a ring by the span of a singleton (that is, by the ideal generated by an element). This characterization comes from eqglact 19092 and elrspsn 21178. (Contributed by SN, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellcsrspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ellcsrspsn.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ellcsrspsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ellcsrspsn.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ellcsrspsn.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
ellcsrspsn.i	⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
ellcsrspsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ellcsrspsn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
ellcsrspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
ellcsrspsn	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, ∼   𝑦, + ,𝑧   𝑦, ·

Allowed substitution hints:   + (𝑥)   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑧)   · (𝑥,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ellcsrspsn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellcsrspsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
2		ellcsrspsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ellcsrspsn.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
4		ellcsrspsn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s ∼ )
5		ellcsrspsn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	quselbas 19097	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
7	2, 1, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ ))
8	1, 7	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ )
9	2	ringgrpd 20161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
11		ellcsrspsn.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀})
12		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13		ellcsrspsn.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
14	13	snssd 4761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐵)
15	12, 5, 2, 14	rspssbasd 35682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ⊆ 𝐵)
16	11, 15	eqsstrid 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		ellcsrspsn.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 3, 19	eqglact 19092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
21	10, 17, 18, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼))
22		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖))
23		vex 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ V)
25	22, 24, 17	elimampt 5992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖)))
26		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑥 + 𝑖) = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀)))
27	26	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑦 · 𝑀) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
28	11	eleq2i 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}))
29		ellcsrspsn.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30	5, 29, 12	elrspsn 21178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
31	2, 13, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑀}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
32	28, 31	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑖 = (𝑦 · 𝑀)))
34		ovexd 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑀) ∈ V)
35	27, 33, 34	rexxfr3d 35680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑧 = (𝑥 + 𝑖) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
36	25, 35	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))))
37	36	eqabdv 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + 𝑖)) “ 𝐼) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
38	21, 37	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})
39		eqeq1 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))} ↔ [𝑥] ∼ = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
40	38, 39	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))
41	40	ancld 550	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 = [𝑥] ∼ → (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
42	41	reximdva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = [𝑥] ∼ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))})))
43	8, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 = [𝑥] ∼ ∧ 𝑋 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝑥 + (𝑦 · 𝑀))}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  [cec 8620  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162   /_s cqus 17409  Grpcgrp 18846   ~_QG cqg 19035  Ringcrg 20152  RSpancrsp 21145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-eqg 19038  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-lsp 20906  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-lidl 21146  df-rsp 21147

This theorem is referenced by:  r1peuqusdeg1  35685